排他过程中的若干问题

We investigate the following problems in exclusion processes. 1. Limit theorems of a tagged particle. Consider a tagged particle in an exclusion process on parallel integer lattices. We will give the ergodic product measures, and show the strong law of large numbers, as well as the central limit theorem, of the tagged particle. 2. Hydrodynamic equations. Consider an exclusion process on parallel toruses. We are going to show that the scaling limit is a solution of the hydrodynamic equations. 3. The rightmost particle. Consider a biased exclusion process on line. We will study the path of the rightmost particle in an excursion. 4. We aim to find some special invariant measures.

本项目拟研究排他过程中的几个问题。1. 贴标签粒子的极限定理。我们研究平行的整数格点上的排他过程中的一个贴标签粒子，拟给出乘积形式的遍历测度，并证明贴标签粒子的强大数定律和中心极限定理成立。2. 水动力学方程。我们研究平行环面上的排他过程，拟证明排他过程在尺度变化下为一个水动力学方程组的解。3. 最右边粒子。我们研究直线上有偏的排他过程，讨论最右边的粒子在一个游弋内的轨道性质。4. 寻找整数格点上具有特殊结构的不变分布。

本项目的研究成果如下. a) 证明在广义梯子上平移不变的排他过程中, 贴标签粒子满足强大数定律和中心极限定理. b) 刻画一维近对称紧邻排他过程的不变分布，证明在适当的尺度变换下, 稳定的粒子密度收敛到一个显示的光滑函数. c) 构造K-粗糙修正分支随机游动, 证明Liouville首达渗流距离的指数为1+o(1), 从而证明该指数在对数相关高斯场中不具有普适性. d) 给出连续版本K-粗糙分支随机游动对应的Liouville热核指数. e) 证明二维高斯自由场的Liouville首达渗流测地线维数在高温情形严格大于1.