复杂网络上的接触过程

本项目研究复杂网络上的接触过程. 接触过程是用于刻画传染病蔓延的粒子系统. 随着电脑网络的普及, 电脑病毒在网络上的流行也具有与传统的传染病极其相似的特征, 类似的还有谣言在社会中的扩散等. 实证研究发现性病传播所依赖的性接触网络，具有无标度网络的特征. 复杂网络上的接触过程随之兴起并蓬勃发展起来. 然而, 这些研究目前仅限于数值模拟和简单网络上的定量分析. 本项目旨在对一般的复杂网络上的接触过程进行定性分析, 研究过程的极限行为与复杂网络的代数几何特性之间的关系, 证明系统存在阈值, 估计系统到达吸收态的时间, 以及存活粒子的数目.

本项目的研究成果有三个方面，分别关于图上的接触过程、耦合扩散过程以及点过程的逼近。1. 我们利用耦合和重整化的方法, 研究半空间整数格点上康复参数固定、传染参数静态随机的接触过程的极限行为, 证明它们的极限分布满足完全收敛定理. 该研究丰富了随机环境下随机过程的理论,并对传染病的流行与控制等实际问题提供了理论上的指导. 2. 我们研究光滑系数的耦合扩散过程的可逆性和熵产生。首先，我们研究有限区域光滑系数的偏微分方程组的解，利用之构造边界截杀的耦合扩散过程；其次，当区域增大的时候，我们证明对应的算子半群和预解式单调上升，其极限在一个恰当的空间中成为算子半群和预解式，于是我们得到一个全局的马氏过程；然后，利用耦合扩散过程与随机发展之间的关系以及Girsanov公式，我们给出过程与其逆过程之间的局部的Radon-Nykodym导数；最后，运用鞅的收敛定理、停时理论等工具，我们证明平稳耦合扩散过程的熵产生存在，并给出熵产生的显示表达，从此表达式可看出熵产生为0当且仅当过程可逆。3. 我们研究局部相关的点过程的逼近理论，工具是Stein方法。首先，我们构造一族粒子系统，这一族粒子系统中的粒子数目的演变是一个多项式生灭过程；其次，我们利用多项式生灭过程的不变分布逼近随机变量的理论证明了这一族粒子系统是正常返的过程，其不变分布为一个点过程，它就是我们的逼近点过程；然后，我们运用耦合等工具估计此点过程逼近理论中的Stein因子；最后，作为应用例子，当被逼近点过程局部正相依或局部负相依时，我们给出了这一族粒子系统对应的点过程的逼近理论。