非高斯噪声驱动系统的若干相关问题及其应用

The project mainly considers the dynamic behavior of the dynamic system driven by non-Gaussian stable Lévy noise and its application. By means of the relationship between non-Gaussian stochastic dynamic systems and non-local partial differential equations, it provides quantitative description of the system's behavior. The main contents are as follows: (1) Quantitative analysis of the behavior of two-dimensional stochastic systems driven by additive, multiplicative and coexistence stable Lévy noise; (2) Combining the practical significance of biological models, we establish positive and negative feedback genes driven by non-Gaussian noise. The model uses the quantitative tools such as mean first exit time, first escape probability, and maximal likely orbit to characterize the time scale, probability and evolutionary orbit of gene transcription, revealing the regular changes of the system; (3) Exploring the relationship and difference between two-dimensional Riesz fractional-order operator andfractional Laplace operator..The research of this project further enriches the research results of non-Gaussian stochastic dynamic systems, and provides new research ideas for the dynamics and applications of stochastic dynamic systems, and promotes the application development of stochastic dynamic systems and numerical algorithms.

本项目主要考虑非高斯稳定Lévy噪声驱动下动力系统的行为分析及其应用，借助非高斯随机动力系统与非局部偏微分方程的关系，为系统的性态提供定量的刻画。主要内容为：(1) 对二维加性，乘性和两者并存的Lévy噪声驱动系统的行为进行定量分析；（2）结合生物模型的实际意义，建立非高斯噪声驱动的正负反馈基因模型，采用平均首次逃逸时、首次逃逸概率、最大可能轨道等定量工具刻画基因转录发生的时间尺度，可能性和演化轨道等，揭示系统的规律变化；（3）探讨二维Riesz分数阶算子与分数阶Laplace算子之间的联系与区别。.本项目的研究进一步地丰富非高斯随机动力系统的研究成果，为随机动力系统的动力学性态和应用提供了新的研究思路，促进随机动力系统和数值算法的应用发展。

局部方程描述的是物理或机械过程在一定时间内或空间中某一位置的局部变化或某种性质，而非局部方程所表征的性质则与现象的整个发展历史或整个空间有关。因此，非局部方程是模拟历史依赖和空间依赖过程的有力数学工具，具有广泛的应用前景。本项目主要考虑非高斯稳定Lévy噪声驱动下动力系统的行为分析和非局部微分方程的数值算法，主要内容如下：(1)考虑了一维乘性对称稳定Lévy噪声驱动下随机动力系统的首次平均逃逸时所满足的确定性非局部方程的数值求解; (2)对诺伊曼边界条件下的二维线性次扩散方程构造了全离散交替方向隐式方法，并在此基础上改进，新的算法加快了高维情形的收敛速度，且给出了一种新颖而简单的收敛性证明策略; (3)对二维广义非线性带波动算子的Schrödinger方程的整数阶和分数阶情形构造了数值算法，并对所提出的算法进行了收敛性分析.. 本项目的研究进一步地丰富和发展非局部问题的相关数值理论，为复杂系统的建模、仿真、行为分析等问题提供严格的数学基础，促进非局部计算方法在计算生物学，气候学等领域的应用发展.