Chaplygin 气体动力学方程组若干问题研究

This project is concerned with the Riemann problem of one dimensional gas dynamic system for the generalized Chaplygin gases and behavior of solutions for small perturbed initial value problem. The Riemann problem of two dimensional gas dynamic system for the Chaplygin gases and the generalized Chaplygin gases, and the axisymmetric solution of two dimensional relativistic Chaplygin Euler equations. In the one dimensional case, the existence of solutions to the Riemann problem of Euler system for the generalized Chaplygin gases can be obtained constructively by exact mathematical analysis and the phase plane analysis, then the stability of solutions for small perturbed initial value problem can be resolved. In the two dimensional case, duing to the different combinations of the four elementary waves,the problem can be classified into different cases and then will be considered in each case by the generalized characteristic analysis. For the axisymmetric solution of two dimensional relativistic Chaplygin Euler equations,under the axisymmetry and self-similarity assumptions, the initial value problem of partial differential equations can be reduced to an infinite boundary value problem for a non-autonomous system of ordinary differential equations.

本项目研究一维广义Chaplygin气体动力学方程组的Riemann问题及初值具有小扰动时解的性态。二维Chaplygin气体及二维广义Chaplygin气体动力学方程组的Riemann问题，二维相对论Euler方程组Chaplygin气体的轴对称解。在一维的情形下，我们利用精密的数学分析和相平面分析方法构造性的证明一维广义Chaplygin气体动力学方程组的Riemann问题，然后证明在小扰动下解的稳定性。在二维的情形下，由四道波的不同组合，先对问题进行分类，然后利用广义特征的分析方法逐类进行讨论。对于二维相对论方程组的轴对称解，我们先利用轴对称和自相似假设，把偏微分方程组的初值问题化为非自治常微分方程组的无穷远边值问题进行研究

本项目组主要研究了非线性守恒律方程组的Riemann问题以及基本波的相互作用问题。通过三年的研究本项目组成员的主要研究成果分为以下三个方面：.. 首先研究了非齐次Chaplygin气体、广义Chaplygin气体欧拉方程组Riemann解的压力消失极限问题。和齐次Chaplygin气体、广义Chaplygin气体欧拉方程组不同的是，非齐次Chaplygin气体、广义Chaplygin气体欧拉方程组的Riemann解不再是自相似的。我们证明了当压力消失时，其Riemann解会收敛到与非齐次零压流方程组Riemann解相对应的真空解和Delta激波解。真空解和Delta激波解对应于物理上的空穴和质量集中的现象。.. 其次研究了含有Delta初值的零压流方程组、非齐次Chaplygin欧拉方程组的广义Riemann问题。通过相平面、广义特征分析方法，然后利用熵条件和广义Rankine-Hugoniot条件，构造性地得到了其解的存在性和解的整体结构。特别需要指出的是，我们发现含有Delta初值的零压流方程组、非齐次Chaplygin欧拉方程组的广义Riemann解中含有Delta接触间断。. . 最后研究了非线性色谱方程组和非齐次交通流方程组的基本波的相互作用问题。利用相平面分析和特征分析方法，我们构造性地证明了解的存在性和解的整体结构。并进一步证明了其Riemann解的稳定性。