狄拉克激波的数学理论

This project is concerned with the mathematical theories of delta shock waves for the nonlinear hyperbolic systems, especially those on Riemann solutions of one dimensional problems. Moreover, we try to make some progress on multi-dimensional problems. Theory on formation and propagation of delta shock waves helps us exploring and revealing the essential rule and change trend of nonlinear phenomena to a large extent. The project focuses on the following two aspects: The one is the appearance and formation of delta shock waves in Riemann solutions. Appearance of delta shock wave may due to the solution involving delta shock waves when the initial data locates on special region, or the solution without delta shock wave tending to the one with delta shock wave in some region owing to transition of states relations, or just be produced by disturbances. These above correspond to the Riemann problems, the limit behavior of Riemann solutions, and stability of Riemann solutions, etc. The other one is the propagation of delta shock waves. The position, propagating speed and weight of delta shock waves in different stages could be derived and analyzed rigorously by the generalized Rankine-Hugoniot relations and the generalized entropy condition.

本项目旨在研究非线性双曲型方程组中狄拉克激波的数学理论，重心主要是与黎曼解相关的一维理论。同时，我们争取在高维问题上做一些突破。对狄拉克激波的形成与传播机制的研究很大程度上有助于探索和揭示非线性现象的基本规律和变化趋势。本项目的研究内容大的方面包含两部分：其一是黎曼解中狄拉克激波的出现和形成。狄拉克激波的出现可以是基于初始条件的特殊范围而直接得到了包含狄拉克激波结构的解，也可以是由于状态关系式的渐变而使得原本没有狄拉克激波的解在某一区域逐渐形成了狄拉克激波，还可以是扰动产生的。而这些则对应了方程组的黎曼问题的求解、黎曼解的极限性态以及黎曼解的稳定性等问题；其二是狄拉克激波的传播。运用广义Rankine-Hugoniot关系式和广义熵条件，可以对黎曼解中狄拉克激波在各个阶段的位置、传播速度和加权等相关量进行严密推导和分析。

本项目组主要研究了非线性双曲方程组中狄拉克激波的数学理论及跨音流问题。通过四年的研究，项目组取得了一定成果，主要有以下几个方面： . 首先，研究了非线性双曲方程组的广义黎曼问题。研究解决了带源项的等熵Chaplygin欧拉方程组、Keyfitz-Kranzer方程组的广义黎曼问题，构造性地得到了广义黎曼问题的整体解。并证明了狄拉克激波解的稳定性。. 其次，研究了等熵欧拉方程组及色谱方程组的初边值问题，使用活塞模型，得到了等熵广义Chaplygin 欧拉方程组活塞问题的拉东测度解。对于色谱方程组通过熵条件及边界熵不等式得到了初边值问题的全局解。. 再次，研究了非等熵欧拉方程组黎曼解的极限性态，通过狄拉克激波的广义Rankine-Hugonit条件和熵条件，得到了压力消失极限下的狄拉克激波解。构造了相对论欧拉方程组的阴影波解，利用极限和超压缩熵条件，证明了阴影波解收敛到相对论欧拉方程组的狄拉克激波解。. 最后，研究了非线性双曲方程组相关的跨音流问题。对于可约拟线性严格双曲方程组，得到了特征分解存在的充分条件。利用特征分解证明了与常状态相邻的是简单波的结论，并构造了简单波解。对于流体向真空扩散的问题，研究了二维拟定常磁流体欧拉方程组，得到了流体绕过凸拐角向真空扩散问题的全局解。使用有限长的二维凸导管，研究了管道中超音速流向真空扩散的问题，通过波的相互作用构造了全局解。.。