Chaplygin 气体方程组及其相关模型的研究

The equations for Chaplygin gases and related models are research topics, which are related to geometry、physics and fluid dynamics. They are not only the hot spots of physicist's attention, but also one of the hot topics of mathematician's attention. This project will focus on the following two problems:(1) global existence and asymptotic profile of smooth solutions to Cauchy problem for the equations for (relativistic) Chaplygin gases and related models; (2) blow up and formation of singularities of smooth solutions to Cauchy problem for the equations for(relativistic) Chaplygin gases and related models. These problems not only enrich and develop the theory of hyperbolic partial differential equations, but also build a bridge between hyperbolic partial differential equations and geometry、physics. Therefore, the research not only has geometric significance, but also has important theoretical significance.

Chaplygin气体方程组及其相关模型是几何学、物理学和流体动力学等领域交叉的研究课题。它们不仅是物理学家所关注的热点，而且也是数学家研究的热点课题之一。本项目主要研究以下两个问题:(1)(相对论)Chaplygin气体方程组和Riemann面上的双曲几何流方程Cauchy问题光滑解的整体存在性及渐近性态；(2)(相对论)Chaplygin气体方程组和Riemann面上的双曲几何流方程Cauchy问题光滑解的破裂以及奇性形成（包括奇性的形成机制和奇性的分类）、奇性的结构与传播。该研究不仅可以丰富和发展双曲型偏微分方程理论，而且是联系双曲型偏微分方程和几何、物理的一座桥梁。因此，该研究不仅具有重要的几何意义，而且还具有重要的理论意义。

Chaplygin气体方程组及其相关模型是几何学、物理学和流体动力学等领域交叉的研究课题。它们不仅是物理学家所关注的热点，而且也是数学家研究的热点课题之一。对于Chaplygin气体方程组及其相关模型的研究，本项目的研究结果主要体现在以下几个方面：(1)在不引入势函数的情形下，借助修订的密度和速度满足的波动方程组，证明了三维等熵可压缩Chaplygin气体方程组满足平衡态附近整体光滑解的存在性；（2）利用Klainerman 向量场和ghost weight能量方法证明了具有旋转项的两维Euler方程组平衡态附近光滑解的整体存在性及生命跨度；（3）通过对Riemann面上的双曲几何流方程进行结构重排，厘清了该方程组的几何结构并利用Klainerman 向量场和ghost weight能量方法给出了光滑解的生命跨度；（4）研究了Chaplygin气体方程组的相关模型整体解的存在性和解的渐近行为。本项目发展、完善和丰富了偏微分方程特别是双曲型偏微分方程的理论，并将对相关学科的发展带来积极的影响。因此，本项目不仅具有重要的理论意义，而且还具有一定的应用价值。