非线性高阶发展方程的整体适定性和长时间动力学行为

The project studies the global well-posedness and the longtime dynamics of some nonlinear higher-order evolution equations appearing in science and technology. By applying the modern analysis theory: the theory on the Sobolev spaces, the Besov spaces, the operators and the interpolation spaces to the following model equations: the Kirchhoff type equations; the wave equations with p-Laplacian type nonlinear strain; the double dispersive nonlinear evolution equations; the nonlinear beam equations and the Boussinesq type equations, we study the global well-posedness, the regularity and the blowup criterion of their solutions, the existence of their attractors and exponential attractors, the estimates on the fractal dimensions and the geometric structure of the attractors provided that the growth exponents of the nonlinear source terms appearing in the model equations are critical and supercritical, respectively. This research is interesting for revealing the properties and the longtime dynamics of the solutions of the model equations and for revealing the mechanism of the corresponding chaos behavior. It is also meaningful for promoting the evolution of mathematics and ralated science and technology.

本项目研究科学技术中提出的几类非线性高阶发展方程的整体适定性和长时间动力学行为。旨在利用非整数次Sobolev空间和Besov空间理论、算子和插值空间理论等现代分析工具研究当非线性项的增长指数为临界和超临界时，具有不同类型阻尼的Kirchhoff型方程、具p-拉普拉斯型非线性应变的波动方程、双色散非线性发展方程、非线性梁振动方程、Boussinesq型方程等的整体适定性、解的正则性和爆破准则、吸引子的存在性、正则性、维数估计、几何结构和指数吸引子的存在性等问题。这项研究对阐明上述模型方程解的性质和长时间动力学行为、阐明对应的混沌行为的形成机制、对科学技术以及数学自身的发展都具有科学意义。

本项目研究科学技术中提出的下列类型的非线性高阶发展方程的整体适定性和解的长时间动力学行为：Kirchhoff型波动方程；具p-拉普拉斯型非线性应变的波动方程（膜振动方程）；具阻尼双色散非线性发展方程；非线性梁振动方程；Boussinesq型方程。主要研究具有不同类型阻尼（强阻尼、分数阶阻尼、弱阻尼、非局部非线性阻尼等）的这些类方程的整体适定性、解的正则性、解的爆破、衰减、它们对应的自治无穷维动力系统的整体吸引子、指数吸引子的存在性、吸引子的几何结构；它们对应的非自治无穷维动力系统的拉回吸引子、拉回指数吸引子和一致吸引子的存在性；以及上述各类吸引子关于摄动参数的稳定性等长时间动力学行为。本项目的研究成果分别发表在31篇在国内外有重要影响的SCI期刊和中文核心期刊上，这些成果对阐明这些模型方程的性质和长时间动力学行为、阐明对应无穷维动力系统的各类吸引子的形成机制及其性质、对丰富和发展偏微分方程和无穷维动力系统的理论及其应用具有科学意义。