脆性裂纹的原子模型与连续模型耦合研究

本项目旨在利用原子模型和连续模型耦合的方法研究脆性裂纹的静力学和动力学性质。原子模型可以抓住脆性裂纹尖端的静力学应力分布以及动力学特征，并为连续模型提供精确的本构关系。而连续模型则可以模拟实验条件下的边界条件并刻画连续尺度下的应力分布以及应力波的传播。这两种模型的耦合是在异质多尺度方法的框架下针对晶体固体专门设计的。其重点是在原子模型和连续模型界面处的实际耦合格式。该格式是在力学平衡态下对两种模型进行线性化得到的相容性格式。本项目的目标是利用该耦合模式对脆性裂纹的物理性质进行研究，利用理论分析和数值模拟分离裂纹传播时弹性能、动能和表面能等所起的作用，提炼出能刻画裂纹传播的特征物理量（如应力强度因子），从而得到脆性裂纹的传播判别法则。同时，本项目也将对得到的耦合模型进行理论分析和误差估计，并将之应用于其他适应的物理材料和物理问题。

多尺度建模与计算研究在近20年来得到了迅猛的发展，越来越受到重视，在力学、物理、化学和生物等各个科学都取得了重要的成果。特别的，2013的诺贝尔化学奖被授予美国科学家马丁・卡普拉斯、迈克尔・莱维特、阿里耶・瓦谢尔，以表彰他们“在开发多尺度复杂化学系统模型方面所做的贡献”。于此同时，数学也在多尺度建模与计算中发挥越来越重要的作用。..从数学上来说，多尺度建模与计算研究中有两个基本问题需要回答，一个是什么样的模型可以放在一起进行耦合，另一个是两个适合耦合的模型放在一起时，在界面处需要提供什么样的界面条件。我们将这两个基本问题总结为模型相容性和耦合相容性。本项目对这两个基本问题都做了研究，并将之应用在脆性裂纹的原子模型与连续模型耦合研究中。在传统柯西波恩法则的基础上，我们利用自有能积分在布里渊区域的渐进展开，得到了有限温度的柯西波恩法则。通过加入时间平均的效应，我们推广了Irvine-Kirkwood法则，使之对尺度比较小的系统可以用时间平均弥补部分的空间平均效应，可以应用于纳米颗粒等尺寸较小的系统中的应力的计算。我们提出了复制时间积分子，在此基础上发展了动力学耦合的界面条件，用于处理波动方程的非一致网格界面条件和脆性裂纹的研究。