非线性发展方程解的整体适定性及其吸引子

The project investigates the global wellposedness and their infinite dimensional dynamical systems (including anlytical,geometric properties and regular approximation of attractors) for the following important nonlinear evolutionary equations arising from physics,mechanics,materiallife sciences: (1)global existence and asymptotic behavior of classical solutions for a class of MHD equations; (2) regular approximation of uniform (trajectory, pullback) attractors for 3D incompressible NS (NSP,NSF) euqations; (3) existence and asymptotic behavior of global solutions for multi-dimensional radiative fluid equations; (4) asymptotic behavior of global solutions for a class of liquid crystal models;(5)global existence and asymptotic behavior of solutions (including existence of attractors) for two-phase incompressible fluids equations in complex fluids. These problems are not only all important ones in very active and challengable research directions in the world in recent ten years,but also those which have important backgroud in applications, are incomplete in theory,mostly concerned by worldwise colleagues and worth studying.Therefore, a deep detailed study on these problems needs creativity in both theories and applications, and even necessarily results in important impact on the research of theories and applications for nonlinear evolutionary equations and their infinite-dimensional dynamical systems. New research directions must need the creativities in mathematical methods and techniques.

本项目拟研究物理、力学、材料科学等学科中出现的下列重要的非线性发展方程解的整体适定性及无穷维动力系统（含分析几何性质及吸引子正则逼近问题）：（1）一类MHD方程组经典解的整体存在性和渐近性；（2）三维不可压NS（NSP、NSF）方程(组)一致（轨道、拉回）吸引子的正则逼近问题；（3）多维辐射流体方程组整体解的存在性和渐近性；（4）一类一维液晶模型整体解的渐近性；（5）复杂流体中两相不可压缩流体方程组解的整体存在性及渐近性（含吸引子的存在性）。这些问题都是近十几年来国际上极为活跃的、极具挑战的研究方向上的重要问题，也是具有重要应用背景、理论上还不尽完善和极受国际同行关注和值得研究的重要问题。因此，对这些问题展开深入细致的研究，不仅需要在理论和应用上创新，而且必将在非线性发展方程及无穷维动力系统的理论和应用研究上产生重要影响。新的研究方向必然需要新的数学方法与技巧的创新。

本项目研究了物理、力学、材料科学等学科中出现的下列重要的非线性发展方程（组）解的整体适定性及无穷维动力系统（含吸引子正则逼近问题）：在论文和专著1-2中，我们研究了：（1）重要的流体力学模型中2D和3D Boussinesq方程组、高维球（柱）对称辐射流体方程组、高维球（柱）对称可压缩p阶牛顿流体方程组、非自治NS方程组、可压缩1D非牛顿流体方程组、3D具有阻尼的双极Euler-Poisson 方程组、3D粘性不可压缩磁流体（MHD）方程组、1D可压 (辐射、粘性、具自引力) 磁流体（MHD）方程组、1D具自引力粘性辐射反应气体方程组、1D可压粘性微极流体方程组、1D列向液晶流体方程组、带有辐射的1D粘性热传导方程组、3D具有时滞的Navier-Stokes-Voight（NSV） 方程组、1D粘性自引力场辐射流体方程组等强解（弱解、光滑解）的整体适定性、渐近性 (含（指数)稳定性、衰减性以及吸引子的存在性、正则逼近问题）和（或）正则性准则、blow-up准则；（2）扰动非经典扩散方程组、粘弹（Bresse）方程组、1D热扩散方程组初边值问题、波动方程、非经典热（粘）弹方程组（1D具第二声、具III型Timosenko型热弹模型、3D具II、III型热弹模型）（强，光滑）解的整体存在性、渐近性（含多项式、指数衰减）、整体（一致、拉回）吸引子的存在性和上半连续性。专著3和专著4较为系统地介绍了国际上众多作者（包括我们自己）的关于线性和非线性积分、离散不等式的最新理论和应用成果，并给出了许多在（偏）微分方程、差分和积分方程等模型中的应用；专著5介绍了一些重要的分析不等式及其在偏微分方程中的应用；专著6（章节）综述了1D可压真实（理想）气体Navier-Stokes方程组初（边）值问题（强、光滑）解的整体适定性（存在性、唯一性及稳定性（渐近性））及其整体吸引子的存在。以上部分结果列入项目 “非线性发展方程整体适定性和吸引子的研究”， 于2015年获得上海市自然科学奖二等奖。综上所述，本项研究问题都是流体力学和材料科学中的重要问题，不仅具有深厚的应用背景，而且有理论上的创新和重要的理论意义。