某些完全正则半群的性质和结构

As a generalization of the theories of groups and rings, the theory of algebric semigroups has developed as a systematic algebric branch. The relation between the algebric semigroups and other algebric branches becomes more and more close and it has extensive application in the automata theory, computer science, combinatorial mathematics，the theory of algebra representation, operator algebra, and the theory of probability. In particular, more and more people focus on the relation between algebra semigroup and cryptography study as the development of computer science... Regular semigroups are the main study objects of the theory of algebric semigroups. The class of completely regular semigroups(union of groups) is one of the important classes of regular semigroups, since this class of semigroups has more relation with the structures of groups. In this project, our aim is to study the properties and structures of orthogroups and cryptogroups by the translation hulls of completely simple semigroups and then consider the structures of general completely regular semigroups. GV-semigroups are the generalizations of completely regular semigroups in the eventually regular semigroups. The properties of GV-semigroups are also studied in this project.

作为群和环的推广，代数半群理论已经发展成为一门系统的代数学科。它与其他代数学科之间的联系越来越密切，在自动机理论、计算机科学、组合数学、代数表示论、算子代数和概率论等方面都有广泛的应用。特别的，随着电子信息产业的不断发展，人们对信息安全的要求不断提高，而半群与密码学的关系越来越被人们注意到。正则半群是代数半群理论研究的主要对象。完全正则半群（又称为群并）是一类非常重要的正则半群，它同时也是与群的结构联系最密切的一类代数半群。本项目通过讨论完全单半群的平移包的性质，旨在了解完全正则半群的两个重要子类纯正群并半群和密码群并半群的性质和结构，从而进一步研究一般完全正则半群的结构。同时作为完全正则半群在非正则半群方面的一个推广，GV-半群的性质和结构也将作为本项目的研究对象。

完全正则半群，又称为群并，是结构和群联系较为密切的一类半群，也是代数半群的主要研究对象之一。 1999年，著名的半群专家Petrich M.的专著《Completely Regular Semigroup》系统的总结了目前关于该类半群的一些研究成果，对于其后的研究有着较大的帮助。GV-半群是完全正则半群在毕竟正则半群范围内的推广，是一类非常重要的非正则半群，关于该类半群也有系统的研究和著作问世。. 纯正群并半群和密码群并半群是完全正则半群的两个重要子类，是完全正则半群研究的主要对象。关于完全正则半群最好的结构描述为完全单半群的半格，沿用此半格结构，得到了完全正则半群及其子类的很多好的性质和结构表示。 在本项目中，我们主要利用次直积，加细半格等手段研究（W）LR-正则纯正群并半群及其子类的性质和结构。对于GV-半群，我们得到了群的nil-扩张的强半格结构，完全阿基米德半群的强半格结构，同时我们定义了拟强半格和拟加细半格，给出了某些特殊的GV-半群的结构表示。