某些重要变换半群的代数结构和组合性质

Transformation semigroup theory plays an important role in semigroup theorey. Its status is the same as that of transformation group theory in group theorey. Following the current hot issue of transformation semigroups theory, we are going to investigate the abundance、maximal subsemigroups and combinatorial results on several classes of transformation semigroups by using semigroup theory, especially transformation semigroup theory, and making full use of the algebra theory and combinatorial mathematics theory. In this project, we will establish the relationship between abundance and regularity, find easy and effective ways to describe the maximal subsemigroups and present formulas to calculate combinatorial results on transformation semigroups. Through this project, we strive for new breakthroughs on the above problems and solve some open problems in transformation semigroup theory. We aim to find new tools and techniques for the study of transformation semigroup theory to further promote the development of it.

在代数半群理论的研究中，变换半群占有重要作用。它的地位如同变换群在群中的地位。本项目结合当前变换半群研究的热点问题，主要运用半群理论，特别是变换半群理论，充分借助代数学和组合数学的相关理论，拟从富足性、极大子半群和组合数这三个角度来研究一些重要的变换半群的代数结构和组合性质。通过本项目，力争在这些内容的研究上有新的突破，建立富足性和正则性之间的关系，努力寻找一些刻画极大子半群的简单、有效的方法，给出组合数的计算方法。解决变换半群中的一些公开问题，为研究变换半群寻找新的思路、手段和技巧，进一步推动变换半群理论的发展。

变换半群理论是抽象半群理论的一个重要分支，它的地位如同变换群在群理论中的地位，具有很大的理论价值。. 设T_X是非空集合X上全变换半群，E是非空集合X上等价关系。设T_E(X)是T_X中所有保持等价关系E的变换作成的T_X的子半群。本项目以T_E(X)为基础，分刻画了变换半群E(X,\sigma)和EOP_X的富足性；描述了T_E(X)的一个极大子半群；在一定条件下给出了T_E(X)的正则元的计算公式。另外分别赋予变换半群T_E(X,R)，E(X,\sigma)和T(X,Y)自然偏序关系，逐一刻画了T_E(X,R)的右相容元，揭示了E(X,\sigma)，T(X,Y)的序结构。同时考察了两类广义变换半群的正则性和格林等价关系。. 通过本项目的研究，进一步丰富了变换半群研究的内容，推动了它的发展。