多种随机噪声诱导的随机镇定及其在多自主体系统中的应用

It is well known that noise can be used to stabilize a given unstable system or to make a system even more stable when it is already stable. Such a point of view is called as the stochastic stabilization. Complex systems are often perturbed by various of stochastic factors, so these systems become more difficult to handle because of the interactions of different processes and tangling information patterns. Consequently, a number of theoretical and practical problmes are put forward and need to be solved。Due to the diversity of different type of stochastic factors, until now, there is no systemic theory to illustrate these results. The main aim of this project is to establish a systemic theory to investigate the stochastic stabilization induced by Brownian motion, Poisson process and Markov process in the senses of the almost sure and the moment and analyze the effects of different noises on stability in different probabilistic senses. To examine the stabilization induced by these stochastic factors, some essential mathematical problems need to be solved, for example, the convergence of the occupation measue of Markov chain in the senses of the almost sure and the moment where the weighting function is a stochastic process, the properties of the large deviation relative to the pth moment Lyapunov exponent for Markov switching systems, and so on. To solve these problems, it is necessary to use many mathematical tools such as stochastic processes, stochastic differential equations, large deviation theory, paritial differential equations and stability theory and so on. These stochastic stabilization results will be used to investigate the multiagent consensus with noises and analyze the effects of different stochastic noises on consensus in different probabilistic senses.

随机因素可以用来镇定一个不稳定的系统或使一个稳定系统更加稳定,这就是随机镇定。由于复杂系统往往同时受到多种随机因素干扰，不同模式的过程和信息相互纠缠，所以使系统变得更加难以处理，也产生了大量需要解决的实际和理论问题。由于随机因素的多样性，迄今为止没有一套完备的理论体系来刻画这些结果。本项目对Brown运动、Poisson过程和Markov切换过程三类噪音在几乎处处和矩意义下诱导的镇定作用展开研究，建立相应的理论体系，分析不同的噪音在不同概率意义下对稳定性的影响。在研究中，需要解决权重函数是随机过程的情况下Markov链的占有测度的收敛性以及Markov切换系统的p阶矩稳定的Lyapunov指数所满足的大偏差的性质等关键问题，需要随机过程、随机微分方程、大偏差理论、偏微分方程和稳定性等多种数学工具。所得结论将用于多自主体的随机趋同性研究，分析不同的随机噪音在不同概率意义下对趋同性的不同影响。

随机因素可以用来镇定一个不稳定的系统或使一个稳定系统更加稳定,这就是随机镇定。由于复杂系统往往同时受到多种随机因素干扰，不同模式的过程和信息相互纠缠，所以使系统变得更加难以处理，也产生了大量需要解决的实际和理论问题。由于随机因素的多样性，迄今为止没有一套完备的理论体系来刻画这些结果。..本项目对Brown运动、Poisson过程和Markov切换过程三类噪音在几乎处处和矩意义下诱导的镇定作用展开研究，建立相应的理论体系，分析不同的噪音在不同概率意义下对稳定性的影响。初步建立了噪声的镇定理论体系，并初步应用于多自主体的一致性理论中,同时我们也将结果应用于随机生物化学反应模型。对于无界延迟的随机泛函微分方程，首先探讨了方程全局解的存在唯一性，在耗散性条件下，建立了解映射的连续性、适应性和强Markov性，考虑了解映射的遍历性，在此基础上得出了稳定分布的存在性。对于积分-微分方程，进一步给出了一个弱意义下的Fokker-Planck方程。给出了中立性随机延迟方程的真实解和几种数值解的p阶矩稳定性，并且给出了在何种条件下，数值解可以复制真实解的稳定性。基于两时间尺度的化学Langevin方程的平均化原理，我们得出慢反应的近似过程，而且与当前流行的随机模拟方法相比，计算速度提高了近千倍，大大提高了计算效率。基于泛函Ito公式，然后结合鞅方法和弱收敛，建立了一类特殊两时间尺度的泛函扩散系统的平均化原理。..在本项目支持下，共完成SCI论文20篇，发表一篇综述性文章。期间6名硕士、1名博士毕业，招收12名硕士、5名博士在读，一名博士后出站(在站期间为2017年1月—2018年12月)。邀请了国际知名学者访问33次，国内著名学者访问23次，举办workshop和小型会议4次，获得了湖北省自然科学二等奖(2015)，获批了2017年度国家自然科学基金委与英国皇家学会共同资助的“牛顿高级学者基金”。所有这些都提高了课题组成员的科研水平与研究生的培养质量，扩大了在学术界的影响。