两时间尺度的延迟扩散系统的平均原理及其应用

Singularly perturbed diffusion systems with delay can be described by stochastic delay or functional differential equations with two-time scales. Due to involving time delay and uncertainty factors, singularly perturbed diffusion systems with delays can describe the real world more precisely, so they have attract increasing attentions. The main aim is to simplify the original system by establishing the averaging principle. The existing methods are based on the Markov property. It is well known that the solutions of stochastic functional or delay differential equations are non-Markov because of the history dependence. Thus it is impossible for singularly perturbed delay or functional diffusion systems to establish stochastic averaging principle by applying the traditional methods directly. The newly developed functional Ito formula, together with the advancements about the Markov property and invariant measure of the segment process (or called as the solution map), essentially changed the landscape of the study of stochastic functional equations. Aims of this program are to establish stochastic averaging principles for all kinds of singularly perturbed delay or functional diffusion systems and analyze their errors by large deviations techniques, and apply these results to stochastic controls problems with singular perturbations and time delays. The results of this program will show great applications in stochastic control, engineer, finance and biology and so on.

奇异摄动的延迟扩散系统可以由两时间尺度的随机延迟或者泛函微分方程描述，由于同时考虑时间延迟和随机因素的干扰，奇异摄动的延迟扩散系统能更准确地描述实际问题，因此引起越来越多的关注。研究奇异摄动的扩散系统的主要目的是通过随机平均化原理简化系统，当前的方法都基于Markov性。由于时间延迟的存在，随机延迟微分方程的解与过去状态相关，不具有Markov性，因此不能直接利用经典的方法建立奇异摄动的延迟扩散系统的随机平均化原理。最近随机延迟和泛函微分方程的片段过程(或称为解映射)的Markov性和不变测度的研究的进展，以及泛函Ito公式研究上的突破，使这个问题的解决出现了曙光。本项目旨在探讨各种形式的奇异摄动的延迟或泛函扩散系统的随机平均化原理，并对其进行大偏差分析，然后将所得结果用于延迟奇异摄动的随机控制问题的研究。本项目的研究成果将在随机控制、工程应用、金融和生物等领域具有广阔的应用前景。

奇异摄动的延迟扩散系统可以由两时间尺度的随机延迟或者泛函微分方程描述，由于能够同时考虑多尺度的影响及时间延迟和随机因素的干扰，奇异摄动的延迟扩散系统能更准确地描述实际问题，因此引起越来越多的关注。研究奇异摄动的扩散系统的主要目的是通过随机平均化原理简化系统，当前的方法都基于Markov性。由于时间延迟的存在，随机延迟微分方程的解不具有Markov性，因此不能直接利用经典的方法建立奇异摄动的延迟扩散系统的随机平均化原理。.本项目建立了三类奇异摄动的延迟和泛函扩散系统的随机平均化原理：第一类主要基于泛函Ito公式，然后结合鞅方法和弱收敛，利用摄动验证函数的方法，建立了一类两时间尺度的泛函扩散系统的平均化原理，然而这种方法当前只能考虑一类特殊的泛函，同时快变子系统不依赖于慢变子系统；第二类考虑了宽带噪声驱动的泛函方程的扩散近似，利用鞅方法，得出当小参数趋于零的时候，宽带噪声驱动的随机（常）泛函微分方程的解收敛到一个泛函扩散过程，这个延迟扩散过程由一个随机泛函微分方程来描述；第三类考虑了一个快慢耦合的随机泛函微分方程，基于直接平均的方法，利用鞅方法和弱收敛，建立了平均化原理，在这个过程中，需要考虑片段过程的Holder连续性，在此基础上建立片段过程的紧性原则。.为了建立更一般的随机平均化原理理论，本项目也考虑一类带有状态依赖的随机切换的随机阻尼的哈密尔顿系统，在相对宽松的条件下，通过鞅方法，建立了全局弱解的存在唯一性，通过截断技术和一些预解方法，建立了此系统的强Feller性，也讨论了指数遍历性和大偏差原理。本项目也同时考虑随机泛函微分方程的一些其它性质，比如：可加泛函的极限定理和一些不等式等。.在本项目支持下，共发表SCI论文17篇（另有2篇文章发表在2023年，没有列入成果，但列入了附件），另有5篇完成的论文。期间8名硕士、5名博士毕业，招收10名硕士、5名博士在读，一名博士后王亚出站(在站期间为2020年7月—2022年12月)，当前1名博士后吴明燕在站(2021年7月入站)。邀请了国际知名学者访问14次，国内著名学者访问30次，举办5次短课程，获得了湖北省自然科学三等奖(2021，排名第二)，2020年3月结题了年度国家自然科学基金委与英国皇家学会共同资助的“牛顿高级学者基金”。所有这些都提高了课题组成员的科研水平与研究生的培养质量，扩大了在学术界的影响。