Navier-Stokes方程与边界层理论的若干问题

本项目从数学的角度，对来自流体力学领域的可压缩和不可压缩流体研究其数学模型的可解性、 解的性质以及边界层问题。 这些问题包括：对牛顿流体、非牛顿流体、磁流体、可压流体的层流边界层问题、研究整体解的存在性、解的正则性和解的渐近性质； 对一维3x3可压和不可压Navier-Stokes方程组在一般初值"大扰动"情况下、研究 整体解的存在性及解与相应Euler方程的接触间断波或稀疏波之间的关系；对Naver-Stokes方程 在半空间域上研究"流入"和 "流出" 问题。 这些问题的研究在航空动力学、天体物理、地质力学、油气探测等方面有非常重要的应用背景。 因此这些问题的研究和解决不仅对偏微分方程的发展有重要的理论意义、 而且必将对流体力学， 空气动力学， 航空航天领域的发展起到积极的推动作用。

本项目研究了可压缩N-S方程组某些尚未解决的问题，主要研究成果如下：.（1）借鉴初始小能量存在整体解的最新研究成果、我们对三维可压缩等熵N-S方程组大初值的Cauchy问题证明了当粘性系数充分大时、所论问题存在整体古典解。此外当初值满足一定衔接条件时， 我们的结果允许初始密度有真空。这是迄今具大初值的可压Navier-Stokes整体古典解存在性的唯一结果 。 .（2）研究了粘性系数依赖密度的可压Navier-Stokes方程解的存在性问题，证明了当初始能量充分小时， 存在古典解。对存在大外力的可压Navier-Stokes方程的Cauchy问题证明了当初始能量适当小时、所论问题存在古典解。.（3）对一维可压Navier-Stokes方程研究了其粘性接触间断波的渐进稳定性问题， 在一定条件下对一般初值证明了其粘性接触间断波渐进稳定到其相应Euler方程的黎曼问题的解。此外还对Navier-Stokes方程的内流问题研究了其接触间断波的渐进性质。.（4）对3维可压磁流体方程研究了解的衰减估计； 对半空间上的2维Boussinesq方程研究了边界层效应。.关键字：Navier-Stokes方程； 古典解的整体存在性； 解的性质。