二维可压缩Navier-Stokes方程中若干问题的研究

This project will study the Cauchy problem of the two-dimensional full compressible Navier-Stokes equations. When the initial density vanishes at far fields (or even has compact support), we will first discuss the local existence and uniqueness of strong and classical solutions, then study the large time behavior of the solutions and establish the global existence of the strong and classical solutions provided the smooth initial data are of small total energy. The main difficulties are as follows: the usually three-dimensional methods and technical can not be modified directly to the two spatial dimensions; the full Navier-Stokes equations are more complicated because of the pressure、velocity and temperature coupling and interacting strongly with each other.

本项目拟研究二维可压缩完全Navier-Stokes方程的Cauchy问题，允许初始密度含真空（甚至具有紧支集），首先研究强解和古典解的局部存在性和唯一性，然后研究当初始能量小时解的大时间行为以及强解和古典解的整体存在性。本项目的研究困难有：二维空间是介于一维和三维之间的临界情形，很多三维情形下常用的先验估计技巧都难以直接应用；完全Navier-Stokes方程中压力、速度、温度之间相互作用和耦合给问题研究带来了新的困难。

本项目研究二维Navier-Stokes方程和MHD方程含真空的Cauchy问题，即允许初始密度含真空（甚至具有紧支集），研究强解的局部存在性和唯一性，然后考虑初值具有一定小性条件假设下强解的整体存在性和大时间行为。本项目得到了如下结果：二维可压缩MHD方程含真空Cauchy问题强解的局部存在性、小能量整体存在性和大时间行为；二维非齐次不可压缩Navier-Stokes方程和MHD方程含真空Cauchy问题大初值强解的整体存在性和大时间行为。本项目的研究丰富和完善了高维流体力学方程的结果，也给出了二维全空间上Navier-Stokes方程和MHD方程适定性问题研究的有效方法。