哈密尔顿偏微分方程保能量算法的构造与数值分析

Hamiltonian systems form a significant category of dynamical systems, since all real physical processes where dissipation can be neglected can be formulated as a Hamiltonian system. This kind of systems has broad applications, which include mechanics of materials, astrophysics, structural biology, etc. The energy conservation is an important property of Hamiltonian systems and whether or not can preserve the energy conservation of the original systems is a criterion to judge the success of a numerical algorithm for their solution. At present, energy-preserving algorithms for Hamiltonian ordinary differential equations have been well established, however, energy-preserving algorithms for Hamiltonian partial differential equations are still in the early stage and a deeper investigation is needed. Therefore, this project further investigates the construction and numerical analysis of energy-preserving algorithms for Hamiltonian partial differential equations with two main goals. One is to advance the basic theory of the energy-preserving methods for Hamiltonian partial differential equations, focusing on the construction and numerical analysis of linearly implicit energy-preserving methods and high-order energy-preserving methods. The other goal is to apply the methods for effectively solving the onlinear wave equation, and correspongding numerical simulations and numerical analyses will be addressed. This project can not only improve and perfect the basic theory of structure-preserving algorithms for partial differential equations, but also propose series of efficient, stable and accurate numerical algorithms, as well as some results of numerical analysis, for related fields.

哈密尔顿系统是一类重要的动力系统，一切真实的、耗散可以忽略不计的物理过程都可以表示成哈密尔顿系统，它广泛应用于材料力学、天体物理学、结构生物学等领域。能量守恒是哈密尔顿系统的重要性质，能否保持能量守恒已经成为评价数值算法好坏的重要标准之一。目前，哈密尔顿常微分系统保能量算法的理论非常丰富，偏微方程系统的保能量算法尚处于发展阶段，还有许多问题需要解决和完善。因此，本项目着重从算法的构造和数值分析两方面深入研究哈密尔顿偏微分方程系统的保能量算法。一是继续发展哈密尔顿偏微分方程系统保能量算法的基本理论，重点研究线性隐保能量算法和高阶保能量算法的构造及其数值分析；二是将新构造的保能量算法应用于各类非线性波方程，并进行数值模拟与数值分析。本项目的研究成果不仅可以进一步发展和完善偏微分方程保结构算法的基本理论，也将为从为相关的领域提供高效稳定且长时间计算精确的数值算法和数值分析结果。

哈密尔顿偏微分方程可以被表示成哈密尔顿形式，自然拥有能量变分结构。本研究基于保结构算法的思想，系统地发展了一系列适用于哈密尔顿偏微分方程的高效、高精度保能量算法。首先，本研究基于能量二次化方法，建立了系统的能量二次化重建模型，提出了一系列新的二阶线性隐式保能量算法，提升了长时间数值模拟的计算效率，克服了已有算法只适用于能量函数是多项式的局限。其次，基于重建的能量二次化模型，利用保持二次不变量的龙格库塔方法理论，为哈密尔顿偏微分方程开发了一类任意高精度隐式保能量算法。在理论上，严格地证明了新构造的高精度保能量格式保持重建模型的二次能量守恒律。此外，注意到重建模型的能量守恒律是二次的，基于正交投影的思想，本项目还发展了一类显式的高精度保能量算法。理论上严格证明了新算法不仅能精确地保持系统的二次能量守恒量律，而且投影后时间方向上的精度不会损失。随后，基于重建模型的能量变分结构，借助预估矫正等线性化技术，本研究还发展了高精度线性隐式保能量算法的理论，为哈密尔顿偏微分方程发展了一类新的高精度线性隐式保能量算法。最后，本研究对各种非线性波方程进行了大量的数值模拟，验证了理论结果的正确性和算法的有效性。值得注意的是，本研究提出的数值策略具有相当高的普适性，可以进一步地推广到一般的哈密尔顿偏微分方程模型，为哈密尔顿偏微分方程保能量算法理论的发展和应用打下了坚实的基础。