一类拟线性Schrodinger方程(组)解的存在性和集中现象研究

In this project, we are concerned with the existence and concentration phenomina to a class of quasilinear Schrodinger equations and systems, in particular, we are interested in the systems of Hamiltonian type. Such kind of equations come from plasma physics, and it has formlly variational structure. We will study the existence and concentration phenomina of solutions on the boundary of a bounded domain, and for the whole space, we will study the existence and concentration phenomina of bound state solutions especially ground state solution under the different potentials, such as positive potential, nonnegative potential, sign-changing potential and decay potential, and classfication, analysis properties, geometry properties, topological properties of solutions and so on. We also study the existence and the property of sign-changing solutions. Such systems comes from nonlinear optics, there is no work concerning the systems of Hamiltonian type. Some functional spaces will be used to establin the variational settings. We will study the existence and concentration phenomina of solutions under different potentials. In particular, we are interested in the case two potentials with competition, nonlinerities with competition, critical nonlinearities, combination of asymptotically linear nonlinearity and superlinear nonlinearity and combination of convex and concave terms. These studies are benefit to the other semiclassical strongly indefinite problems.

本项目拟研究一类拟线性Schr?dinger方程及其耦合产生的方程组特别是哈密顿型方程组束缚态解的存在性和集中现象。该类方程出现在等离子物理中，形式上具有变分结构。我们拟在有界区域的情形研究解的存在性及其关于区域边界的集中现象，在全空间的情形拟研究在正位势、非负位势、变号位势或衰减位势下束缚态解尤其是基态解的存在性和集中现象，解的类型、解的分析性质、拓扑性质等问题。而该类方程组源于非线性光学，对于本项目着重关注的哈密顿型方程组，即使在解的存在性方面目前也还没有结果。我们拟寻找恰当的函数空间建立其变分框架，进而研究其解的存在性与多重性；同时，我们将从半线性哈密顿型方程组出发，在不同位势下研究解的集中现象，着重关心两个位势且它们之间存在竞争、非线性项之间存在竞争、临界非线性项、渐近线性项和超线性项耦合、凸凹非线性项组合等问题。这些研究将会有益于解决其它强不定半经典问题。

在国家自然科学基金委资助下，项目组按照项目任务书开展了研究工作，主要是用变分方法研究了拟线性Schrödinger方程（组）解的存在性、多重性和解的集中现象。主要工作包括以下几个方面：（1）证明了拟线性椭圆方程对称扰动问题和带有凹凸非线性项的拟线性方程无穷多解的存在性；获得了拟线性Schrodinger方程径向与非径向对称解的存在性与多重性；获得了带有竞争位势的拟线性Schrödinger方程基态解的存在性和集中现象；利用Pohozaev流形建立了一类次三次拟线性Schrodinger方程基态解的存在性和集中现象。（2）证明了一类梯度型带有奇性的拟线性方程组正解的存在性；获得了一类半经典哈密顿型椭圆方程组基态解的存在性与集中现象；与人合作系统研究了来自二次谐波现象的Schrödinger方程组解的存在性、多重性，解随着参数的渐近行为、分歧现象等。（3）研究了非局部椭圆问题解的存在性、多重性和集中现象：（4）在与项目紧密相关的非线性Maxell-Dirac方程组上进行了拓展性的研究。项目组在国际学术期刊上发表19篇SCI论文，另有论文1篇被Sciences in China Mathematics接受发表。