含梯度项的非线性扩散系统的变分方法研究

本项目拟研究含梯度项的反应扩散系统的变分结构及其周期解、同宿轨道和驻波的存在性和多重性及解的性态，其中梯度项系数不必满足度规条件。这类系统具有广泛的理论背景，是当前非线性科学研究中的一个重要分支。通过本项目的研究，我们将建立扩散系统在不同位势(特别是周期或非周期的变号位势)下的变分框架，获得周期解、同宿轨道和驻波的存在性和多重性,并在解的性态方面这个新课题上（如解的衰减、集中、对称性及nodal集性质等）开展研究。同时，我们拟研究含梯度项的椭圆方程组的奇异扰动问题。除研究重要的具体问题外，也对具体问题背后蕴藏的一些理论问题进行探索，诸如强不定泛函的临界点理论等重要课题。本项目的研究将使人们对非线性扩散系统有更深刻的认识，同时对强不定泛函的临界点理论也必将有所发展。

项目组在如下几方面开展了研究工作：率先在周期与非周期两种情形建立了含梯度项的哈密顿型椭圆方程组的变分框架并获得了解的存在性和多重性；系统地利用变分方法研究了周期哈密顿型椭圆方程组，在不同情形下建立了变分框架，获得了极小能量解的存在性与解的多重性；开展了哈密顿型椭圆方程组的半经典问题的研究，在极小能量解的存在性和集中现象方面获得了有意义的新结果；在与项目紧密相关的一阶哈密顿系统、非线性Dirac方程、拟线性Schrodinger方程、Schrodinger-Maxwell方程组等变分问题解的存在性与多重方面也取得了新的进展。在SCI期刊上发表论文15篇，接受发表1篇。