一类Robin反问题的数值解法

Robin inverse problems are nonlinear inverse problems arising from partial differential equations. This kind of inverse problems arise in a variety of applications, including various nondestructive evaluation methods where an unknown material profile in a non-accessible part of the boundary is to be recovered from a partial boundary measurement made on an accessible part of the boundary, determination of temperatures and heat fluxes, and initialization of ice-sheet forecasts, etc. Robin inverse problems are very difficult to be solved numerically due to the ill-posedness nature of the problem. In recent years, numerical solution methods for the problem have been attracting a lot of attentions. A systematic research on numerical solution methods for Robin inverse problems has significant scientific meanings and great potential in applications..In this project, we are concerned with numerical solution methods for a type of Robin inverse problems with boundary integral equation as a tool. The basic contents of this project are construction of highly accurate discretization methods for integral operators with weak singular kernel functions, new algorithms for fast matrix-vector multiplications, and new penalty functions, which are capable of being transplanted to solve other problems. For example, the expected achievements of this project can be applied to integral equations with weak singular kernels and some other ill-posed problems..We will reformulate the Robin inverse problems as minimization problems and introduce different penalty functions for the minimization problems according to the smoothness of the Robin coefficients. We will then study fast numerical solution methods for the relevant regularized minimization problems. We expect to construct suitable penalty functions for continuous Robin coefficients, piecewise constant Robin coefficients, and piecewise continuous Robin coefficients, respectively, and derive efficient numerical solution methods for the regularized minimization problems.

Robin反问题是来自偏微分方程的非线性反问题，有广泛的应用背景，例如非破坏性估测技术的定量分析、温度与热流量的确定以及冰原预报的初始化等。由于Robin反问题应用广泛且求解难度大，其数值解法一直是一个研究热点。对该反问题的数值解法作深入系统的研究，具有重要的科学意义和应用价值。.本项目以边界积分方程为工具研究一类Robin反问题的数值解法。基础研究内容是构造核函数有弱奇性的积分算子的高精度离散公式、矩阵-向量快速相乘新算法和新的罚函数。这些基础研究内容有很好的可移植性，预期成果可以推广应用于有弱奇异核的积分方程和一些类型的不适定问题。我们计划把Robin反问题转化为极小化问题，并根据Robin系数的光滑性质提出不同的罚函数，得到不同的正则化极小化问题，然后研究这些极小化问题的快速数值求解方法。.预期分别得到求解连续、分段/分块常数和分段/分块连续Robin系数的有效数值方法。

Robin反问题是来自偏微分方程的非线性反问题，有广泛的应用背景。由于Robin反问题应用广泛且求解难度大，其数值解法一直是一个研究热点。对该反问题的数值解法作深入系统的研究，具有重要的科学意义和应用价值。.本项目的主要研究内容有：不光滑核的积分算子的高精度离散方法及其应用；分数阶扩散微分方程的几个二阶精度方法的优劣；二维Robin反问题和第一类积分方程的正则化及求解，H1正则化方法的正则化参数的确定；分数阶偏微分方程的快速求解方法；图像恢复和图像加密问题。.主要成果如下：（1）设计求解二维Robin反问题的共轭梯度法、牛顿方法和非线性互补方法等，用于求解连续Robin系数或分段常数Robin系数。这些成果有较好的学术意义。（2) 提出一种确定H1正则化方法的参数的简单方法。该算法的优势在于能够确定当前参数过大还是过小，计算过程简单，非常实用。该方法可以较好地处理实际应用中常见的白噪声。由于一些噪声可以处理后化为白噪声，因此，这一成果具有较好的应用前景。（3）在Robin边界问题的离散矩阵的结构的研究方面得到一定的成果：当Laplace方程所在区域为椭圆区域时，离散矩阵有良好的结构。这一结果为下一步的研究提供了基础。（4）在一些相关问题的快速算法或正则化方法的研究中取得不错的成果，包括分数阶偏微分方程的预处理Krylov子空间方法和多重网格方法，图像去模糊的加权H1正则化方法及优化相应问题的快速求解。（5） 深入分析Nystrom-Clenslaw-Curtis (NCC) 方法，并将NCC方法应用于Fredholm积分方程和Volterra积分方程。NCC方法是适用于不光滑核的积分算子，与谱方法有类似的精度，但计算量和方程的形式比谱方法简单，特别是对非线性积分方程，NCC方法更具优势。.本项目已发表文章17篇，其中SCI收录文章7篇；培养博士研究生4名，硕士研究生8名。