分数阶扩散方程的高精度离散方法、快速算法及应用

Fractional diffusion equation has a wide range of application background in physics, biology, finance, and image processing, etc., and numerical method is the main way to solve such kind of problems. Therefore, it has important theoretical meaning and high application value to construct efficient, fast algorithms, and analyze the accuracy of numerical solutions and the convergence and stability the algorithms. ..In this project, we mainly study highly accurate discretization methods and fast algorithms for the solution of the initial-boundary problem for one-dimensional space fractional diffusion equations. We aim to construct highly accurate and structured discretization for the problem by using special properties of fractional order derivatives, and study the accuracy of the numerical solutions theoretically. We also plan to construct efficient matrix-vector multiplication and structured preconditioner by exploiting the structure of the coefficient matrices of the discretization linear systems, and deduce theoretical results for the complexity, stability, and convergence of the proposed algorithms. In addition, we will study numerical methods for other types of fractional differential equations and problems, e.g., higher dimensional space fractional diffusion equation, time fractional differential equation and space fractional backward diffusion problem.

分数阶扩散方程在物理学、生物学、金融和图像处理等领域有广泛的应用背景，而数值解法是求解这类问题的主要途径。因此，构造这类方程的高效、快速的求解方法并从理论上分析数值解的精度、算法的收敛性和稳定性等性质，具有重要的理论意义和很高的应用价值。..本项目主要研究一维空间分数阶扩散方程的初值-边值问题的高精度离散方法和快速求解方法。我们拟应用分数阶导数的特殊性，通过配置法构造空间分数阶扩散方程的高精度结构化离散，并从理论上对数值解的精度进行深入的讨论；同时，挖掘相应的离散方程组的系数矩阵的特殊结构，构造高效的矩阵-向量快速算法和结构化的预处理矩阵，建立比较完整的计算复杂性、稳定性和收敛性理论；另外，我们还将研究其它类型的分数阶偏微分方程和问题的数值解法，如高维空间分数阶扩散方程，时间分数阶微分方程和空间分数阶反向扩散问题等。

分数阶扩散方程在物理学、生物学和金融等领域有广泛的应用背景，而数值解法是求解这类问题的主要途径。因此，构造这类方程的高效、快速的求解方法并从理论上分析数值解的精度、算法的收敛性和稳定性等性质，具有重要的理论意义和很高的应用价值。. 本项目主要研究分数阶空间分数阶扩散方程的高精度离散方法和快速算法。离散方法主要研究高阶有限差分方法和谱方法，分析其收敛性、稳定性和计算复杂性。. 主要成果如下： (1) 将Runge-Kutta方法与Gegenbauer谱方法相结合，应用于一个包含Riesz型分数阶导数的二维非线性分数阶方程。该方法在时间步长足够小的时候稳定，关于空间网格点数有指数收敛性质。(2) 将Fourier谱方法应用于一个初始条件为周期函数的非线性分数阶薛定谔方程，证明半离散Fourier谱方法得到的代数方程组的质量和能量守恒律，分析误差，并通过自适应时间步长选择策略提高求解的效率。(3) 提出推广的左移和右移分数阶Legendre多项式，并给出了其在分数阶微分方程领域的应用。(4) 对WSGD格式作深入的研究，获得若干有意义的成果。(i)导出带参数的三点WSGD格式，得到精度阶和稳定性结果，以及参数选择方法。(ii) 分析CN-WSGD格式的稳定性和精度阶，提出预处理矩阵的构造方法。(iii) 将三点WSGD格式应用于变阶分数阶扩散方程，分析相应的CN-WSGD格式的稳定性条件和参数选择方法并给出预处理迭代解法。(iv) 将WSGD格式推广应用于对流-扩散方程，给出相应的CN-WSGD格式的稳定性条件和参数选择方法并给出预处理迭代解法。(v) 将WSGD格式与隐式Runge-Kutta方法结合起来，得到IRK-WSGD格式，获得精度阶、收敛性和稳定性的结果并给出快速迭代方法。(vi) 将3点WSGD方法推广到4点WSGD方法，得到精度和稳定性结果，推导离散线性方程组的快速求解方法。(5) 分别对Riesz型空间分数阶扩散方程和单侧分数阶扩散方程的离散方程组研究预处理矩阵的性能，获得预处理后的矩阵的条件数上界。. 本项目已发表学术论文18篇，其中13篇被权威科技文献检索系统检索，会议论文3篇；培养毕业博士研究生2名，硕士研究生14名。