集值向量优化问题解的统一性研究

This project mainly focuses on unified solutions and characterizations of vector optimization problems with set-valued maps. The contents of main researches including as: Study on the nonlinear scalarizations, Lagrange multipliers theorems, saddle points theorems and duality of unified solution concepts-E-Benson proper efficient solutions and E-weakly efficient solutions for vector optimization problems with set-valued maps; Under the assumption of generalized subconvexlikeness, in the unified framework considered by Flores-Bazán and Hernández, we study on the linear scalarizations and Lagrange multipliers theorems of solutions for vector optimization problems with set-valued maps; Based on the ideas of the classic supper efficient solutions and approximate supper efficient solutions, we propose unified supper efficient solutions concepts via improvement sets and study the nonlinear scalarizations and linear scalarizations with the assumption of generalized subconvexlikeness, Lagrange multipliers theorems and density results; Study on the convergence of the sequence of sets of E-weakly efficient solutions and E-efficient solutions with perturbations in the sense of Wijsman, Kuratowski-painlevé and Mosco convergence. The accomplishment and implementation of this project not only enrich and perfect vector optimization theory, but also promote the applications in reality.

本项目重点研究集值向量优化问题解的统一及性质，主要内容包括集值向量优化问题统一的解概念-E-Benson 真有效解和E-弱有效解的非线性标量化特征、拉格朗日乘子定理、鞍点定理及对偶性结果；利用广义次似凸性在Flores-Bazán和Hernández提出的统一框架下研究集值向量优化问题解的线性标量化特征和拉格朗日乘子理论；基于超有效解和近似超有效解，利用改进集提出集值向量优化问题统一的超有效解，研究其非线性标量化和广义次似凸性下的线性标量化特征、拉格朗日乘子定理和稠密性结果；利用集值Ekeland广义变分原理研究集值向量优化问题E-有效解和E-弱有效解的存在性及最优性条件；利用集合列的Wijsman、Kuratowski-Painlevé 和Mosco收敛性等进一步研究带扰动的E-有效解集列和E-弱有效解集列等的收敛性。本项目的实施和完成不仅能丰富完善向量优化理论，也能促进在实际中的应用。

向量优化理论与方法在诸多领域均有十分广泛的应用。对向量优化问题的深入研究不仅将促进凸分析与非线性分析等的发展，也将为解决大量应用问题提供理论基础。本项目重点研究了集值向量优化问题的统一解及其性质。(1) 关于统一的有效解与弱有效解研究：利用回收锥研究了改进集的对偶性质；建立了统一的（弱）E-有效解的非线性标量化结果；基于择一性定理获得了弱 E-有效解的线性标量化结果；提出了集值向量优化问题的弱 S-有效解，建立了相应的线性标量化定理；研究了非凸向量优化问题近似有效解的锥标量化性质；利用 Clarke 导数和次微分研究了 C(T) 值向量优化问题有效解和弱有效解的性质。(2) 关于统一的真有效解及其性质研究：建立了 E-Benson 真有效解的鞍点定理与对偶性结果；基于假设 B 提出了一类统一的真有效解，建立了相应的非线性标量化结果；利用距离函数研究了 ε-真有效解的非线性标量化性质；提出了 C(ε)-真有效性，建立了非线性标量化性质；研究了拟内部和相对代数内部下凸锥的性质，建立了基于拟内部和相对代数内部的非凸分离定理；利用 Mordukhovich 次微分提出了非光滑多目标优化问题的正则性条件，建立了真有效解的 KKT 条件。(3) 关于统一的超有效解及其性质研究：利用改进集和假设 A 分别提出了集值向量优化问题的 E-超有效性和 S-超有效性，建立了相应的线性标量化性质。(4) 关于统一的 Ekeland 变分原理及其应用研究：建立了局部凸空间中向量 Ekeland 变分原理的等价刻画；利用改进集建立了统一的集值 Ekeland 变分原理。自本项目批准立项以来，共发表研究论文 32 篇，其中在 SCI 刊物上发表论文 12 篇，在《Journal of the Operations Research Society of China》等刊物发表论文 20 篇。