向量优化问题解集性质研究

经济分析、金融管理、生态保护、管理学中很多决策问题本质上是向量优化问题。研究向量优化问题的一个基本问题是研究向量优化问题解集的性质。本项目主要利用非线性分析方法研究向量优化、向量变分不等式问题解集的非空有界性、稳定性和连通性等性质。首先利用向量优化问题的间隙函数，将向量优化问题转化为最优化问题，同时利用例外簇方法得到最优化问题解的非空有界性，再得到向量优化问题弱解的紧致性；利用凸分析中的渐近分析方法研究最优化问题解的稳定性，从而得到向量优化问题弱解的解集的稳定性。由向量优化问题弱解的紧致性推出连通性。向量变分不等式问题可转化为向量优化问题，因此我们可得到向量变分不等式问题解集的非空有界性、稳定性和连通性等性质。

本项目主要研究向量优化问题及相关问题解集的非空有界性、稳定性和连通性等性质，经过项目组成员三年的努力，取得如下主要研究成果：. 利用例外簇方法研究向量优化问题解集及相关问题解集的存在性问题，给出凸优化问题的例外簇，并利用凸优化问题的例外簇研究凸优化问题解的存在性。证明存在例外簇与凸优化问题不存在解等价。我们证明存在例外簇与凸优化问题不存在解等价，给出了不存在例外簇的几个充分条件，从而给出凸优化问题存在解的几个充分条件。利用凸优化问题的例外簇，我们得到约束优化问题的例外簇。首次建立向量变分不等式的拓扑度，证明了向量变分不等式可解性问题与一个不动点问题等价，我们建立向量变分不等式的拓扑度。在不需要满足显示偏好弱公理的条件下, 证明了有限纯交换经济的瓦尔拉斯均衡定理。将混合变分不等式转化为求算子方程的零点，利用法锥算子的性质、紧算子性质，得到混合变分不等式的例外簇，与以往利用不动点定理导出例外簇的方法不同，不要求映射为全连续场。. 研究了向量变分不等式问题解集性质，我们得到向量变分不等式问题解集非空有界的一个充要条件。我们利用对偶锥的基*弱紧性和连通性，证明了保证解集映射非空有界的点是对偶锥基的既开又闭的子集，从而得到向量变分不等式问题解集非空有界性。利用连通空间的上半连续映射像的连通性，我们得到有限维空间中弱向量变分不等式解集的连通性。. 利用例外簇方法研究集值互补问题的可行性问题证明了集值互补问题可行集非空等价于不存在例外簇，我们得到了集值互补问题的可行性问题的几个充分条件，部分解决了数学家Isac提出的公开问题。. 证明了变分不等式问题可解性问题一定条件下等价于一类集值映射零点存在性问题。我们证明了拟单调算子存在零点的充要条件。.我们利用伪单调算子的性质，利用法锥算子的性质，得到求解伪单调算子零点的邻近点算法。. 我们研究无穷区间上具有p-Laplacian算子的时滞微分方程边值问题解的存在性和唯一性,利用Schauder不动点定理得到解的存在性,由Banach压缩映射原理证明解的唯一性。. 项目共发表学术论文9篇，其中被SCI收录5篇，另完成论文6篇，4篇已投稿SCI期刊，一篇投稿《数学学报》，一篇拟投稿SCI期刊。培养7名硕士研究生和三位青年教师。