Hilbert空间中K-框架的若干问题研究

K-frames have been introduced in studying the atomic systems with respect to a bounded linear operator as a generalization of classical frames, i.e. K-frames replace the lower frame bound condition by new lower condition. This project focuses on several problems of K-frames for Hilbert spaces. (1) We introduce the concepts of Gram matrix and excess of K-Riesz frames, and dicuss the properties and characterizations of K-Riesz frames and K-Riesz bases by means of Gram matrix. Furthermore, by employing the enquivalent characterizations of K-Riesz frames, new results on the stability of K-Riesz frames are discussed, and the excess of K-Riesz frames is investigated. (2) K-g-frames have a certain advantage in practical applications relative to g-frames. After the exchangeable issue of two g-Bessel sequences related to K-g-frame is solved, we study the properties, construction methods and the stability of K-g-frames and tight K-g-frames. (3) Based on the elaborate analysis of identities and inequalities of frames and g-frames, we give the identities and inequalities of K-frames and K-g-frames. (4)Characterize the properties of controlled K-frames and controlled K-g-frames, seek the effective construction methods of controlled K-frames and controlled K-g-frames, and then study the stability of controlled K-frames and controlled K-g-frames.

K-框架是在研究有界线性算子的原子分解时引入的, 它是经典框架的推广, 即K-框架用新的下界取代了经典框架的下框架条件.本项目着重研究Hilbert空间中K-框架的若干问题:(1)引入K-Riesz框架的Gram矩阵和冗余度概念, 并借助Gram矩阵研究K-Riesz框架与K-Riesz基的性质及其等价刻画, 进而研究K-Riesz框架在扰动下的稳定性, 并探讨K-Riesz框架冗余度;(2)基于K-g-框架在实际应用中较g-框架有一定的优势, 在解决与K-g-框架相关的两个g-Bessel序列之间的交换性问题基础上, 探讨K-g-框架与紧K-g-框架的性质、构造方法和稳定性;(3)在深入分析框架、g-框架的等式和不等式基础上, 给出K-框架和K-g-框架的等式与不等式;(4)刻画控制K-框架与控制K-g-框架性质, 寻找有效的控制K-框架与控制K-g-框架构造方法, 并研究它们的稳定性.

K-框架是在研究有界线性算子的原子分解时引入的,它是经典框架的推广,即K-框架用新的下界取代了经典框架的下框架条件.本项目着重研究Hilbert空间中K-框架与K-g-框架的性质、构造方法和稳定性,给出K-框架与K-g-框架的等式与不等式,探讨控制K-框架与控制K-g-框架性质、构造方法和稳定性.主要研究结果有:(1) 针对K-框架和K-g-框架理论研究问题,一是借助于线性算子理论,给出了K-g-框架的构造方法、性质刻画和稳定性,得到相应的等式和不等式;二是利用g-预框架算子来研究K-g-框架的对偶K-g- Bessel序列的性质刻画；三是给出了K-g-融合框架的一些新性质、等价刻画、冗余性和稳定性;四是引入编织K-融合框架的概念,给出了性质刻画、构造方法和传递性的充分条件.(2)针对控制K-框架理论研究问题,一是讨论控制g-融合框架的充分条件、性质刻画以及和问题;二是探讨了编织控制g-框架和编织g-框架的关系,给出了编织控制g-框架的充分条件、性质刻画以及传递性结论.(3)针对量子信息问题,讨论了基于斜信息的关联度量,给出非自伴算子的度量调整斜信息的定义,建立关于度量调整斜信息和关联测度的两种不确定性关系.(4)针对医学图像融合算法设计问题,基于脉冲神经网络模型(PCNN),结合Kirsch边缘检测算子、改进的拉普拉斯和与彩色显著特征信息,分别设计了一种深度学习融合算法和一种多尺度变换的融合算法.(5)针对红外与可见光图像融合算法设计问题,一是利用滚动导向滤波具有保留边缘、平滑纹理的特性,结合混合多尺度分解和非下采样剪切波变换,提出了两种基于多尺度变换的融合算法;二是基于自适应双通道脉冲发放皮尘模型具有全局耦合、脉冲同步、参数少和高计算精度的特性,以及其具有增强图像中偏暗区域的信息提取能力,利用显著性检测具有提取图像显著信息的特性, 提出了一种基于深度学习的融合算法.