Hilbert C*-模中框架和g-框架的特征及应用研究

Modular frames and modular generalized frames are organic products of Hilbert C*-modules combined with frames and generalized frames, so a thorough study on their characteristics and applications is helpful to further reveal the close connection between Hilbert C*-module theory and wavelet theory. This project tends to propose a new approach, which can construct adaptively optimal dual modular frames for the encoded signal vectors and achieve higher signal reconstruction accuracy. This project also tends to completely avoid the constraints of C*-algebras to give new characterizations on redundancy of modular frames, which have strong practicability, and examine the relationship between the reconstruction efficiency and the redundancy of the encoded modular frames. Moreover, this project tends to study some new characteristics of modular generalized frames, including searching the counterpart of classical canonical dual in modular K-frame theory and characterize its exact form for the purpose of solving the reconstruction problem in modular K-frame theory; making the structure of alternate duals of modular g-frames explicit in a certain degree to study their perturbations; characterizing the representation of all duals of a modular g-Riesz basis and equivalent conditions for a dual of a modular g-Riesz basis to be again a modular g-Riesz basis.

模框架和模广义框架是Hilbert C*-模与框架和广义框架有机结合的产物，深入研究它们的特征及应用有助于进一步揭示Hilbert C*-模理论与小波理论之间的紧密联系。本项目拟提出一种新方法，使得由其构造的最优对偶模框架自适应于编码信号向量并且可以实现更高的信号重构精度；拟完全避开C*-代数的制约而从新的角度给出具有较强实用性的模框架稳健性的新刻画，并检验模框架编码情形下信号重构效果与模框架稳健性之间的关联性。此外，本项目拟研究模广义框架的一些新特征，包括寻找经典典范对偶在模K-框架理论中的对应物并刻画其具体结构形式，以期解决模K-框架理论中的重构问题；一定程度上显式化模g-框架交替对偶的结构以研究其扰动性；刻画模g-Riesz基全部对偶的表示形式及其对偶仍是模g-Riesz基的等价条件。

Hilbert C*-模与小波特别是框架理论在许多方面有着密切的联系，彼此都将因对方的发展而受益。作为二者有机结合的产物，Hilbert C*-模中的框架及广义框架越来越受到学者们的关注，深入研究其性质及应用将有助于拓宽框架理论和应用研究的途径、促进不同学科间的融合发展，并有助于产生能显著提升应用领域传统方法利用效果的新方法。.紧扣研究计划，围绕Hilbert C*-模中框架和g-框架的特征及应用这一主题，我们研究了Hilbert C*-模中g-框架乘子的可逆性与逆的表示，以及酉系统的K-框架生成元在Hilbert C*-模架构下的表现，所得结果进一步展现了框架理论在Hilbert C*-模与Hilbert空间情形下的本质差异，为设计基于Hilbert C*-模中框架的信号处理新方法提供了理论支撑。.我们也研究了经典典范对偶在K-g-框架理论(Hilbert空间)中的对应物并刻画了其具体形式，进而提出并解决了K-g-框架理论中的一些对偶性问题，为Hilbert C*-模中K-框架的典范对偶替代物的寻求及重构问题的解决提供了更多的经验、方法和工具。.此外，我们研究了Hilbert空间中编排K-框架在算子扰动以及Paley-Wiener型扰动条件下的稳定性，证明了编排K-框架在两个不同算子作用下的稳定性结果以及Paley-Wiener型扰动条件对一族编排K-框架的有效性，对Hilbert C*-模中相应应用理论模型的构建具有促进作用，且为该架构下信号处理的数值实验提供了理论依据。.目前，项目组成员已公开发表标注基金项目的学术论文21篇，其中SCI期刊论文14篇。