芬斯勒空间中若干问题的研究

Finsler geometry is just Riemannian geometry without the quadratic restriction on the metric. In 2011, the applicant and collaborator firstly introduced general(α,β)-metrics,which are an important class of Finsler metrics including (α,β)-metrics, spherically symmetric Finsler metrics, 1-parameter metrics of positive constant flag curvature constructed by Bryant, part of warped product metrics and part of fourth root metrics, ect. That is to say, general(α,β)-metrics make up of a much larger class of Finsler metrics, which makes it possible to find out more Finsler metrics to be of great curvature properties. This project will mainly investigate the following four aspects: (1) characterize and classify projectively flat general (α,β)-metrics with constant flag curvature; (2) study and construct Finsler Einstein metrics; (3) study the non-Riemannian curvature property of Finsler metrics such as S-curvature; (4) study the isoperimetric problem in Finsler geometry. In terms of the above four aspects, we will make use of Analysis, Topology, Differential Equations and Lie Groups, ect, and develop some new methods and techniques, which could enrich theories of Riemann-Finsler geometry. Implementation of this project will contribute to making rapid progress of local and global Finsler geometry.

芬斯勒几何是在度量上没有二次型限制的黎曼几何。广义(α,β)度量是申请人和合作者在2011年首次引入的一类重要的芬斯勒度量，此类度量包含(α,β)度量、球对称度量、由Bryant构造的单参数的常正曲率度量、部分扭积度量和部分广义四次根度量等，即广义(α,β)度量构成了很大一类芬斯勒度量，这有利于找出更多具有良好曲率性质的芬斯勒度量的例子。本项目拟重点研究以下四个方面：(1)刻画和分类射影平坦常旗曲率的广义(α,β)度量；(2)研究和构造芬斯勒爱因斯坦度量；(3)研究芬斯勒度量的非黎曼曲率性质，例如S曲率；(4)研究芬斯勒几何中的等周问题。针对以上四个方面，我们拟利用分析、拓扑、方程和李群等工具，发展一些新的方法和技巧，进而丰富黎曼-芬斯勒几何理论。本项目的实施将促进国内外局部和整体黎曼-芬斯勒几何的发展。

芬斯勒几何就是在度量上没有二次型限制的黎曼几何。在陈省身先生倡导下，经过国内外芬斯勒几何学者及相关领域专家的共同努力，芬斯勒几何无论在局部还是整体上都得到深入发展。本项目基于目前国内外研究热点，重点研究以下内容：其一，芬斯勒度量的黎曼和非黎曼曲率性质；其二，射影Ricci曲率和射影黎曼曲率；其三，拟爱因斯坦芬斯勒度量。本项目取得以下重要结果：(1)引入了拟爱因斯坦芬斯勒度量，研究和刻画了拟爱因斯坦平方度量，并弄清了拟爱因斯坦平方度量的局部结构；(2) 研究和刻画了射影Ricci平坦的平方度量，更进一步，构造了许多非平凡的例子; (3)研究和刻画了一类射影Ricci平坦的广义(alpha, beta)度量，并构造了一类新的非平凡例子; (4) 刻画并完全分类了所有射影Ricci平坦的Douglas (alpha, beta) 度量; (5)引入了射影黎曼曲率的定义, 给出了射影R平坦spray和射影R平坦芬斯勒度量的定义，然后，在任何体积形式下，给出了一个spray是射影R平坦的充要条件，作为应用，研究和刻画了射影R平坦的Randers度量。最后，在闭的芬斯勒流形上，获得一个刚性定理。(6)证明了一个芬斯勒扭积度量具有几乎消失的H曲率当且仅当它具有几乎消失的χ曲率. (7)引入了芬斯勒梯度Ricci孤立子的定义，对于一个Randers测度空间，给出了此空间是芬斯勒Ricci孤立子的充要条件。特别地，证明了Randers芬斯勒梯度Ricci孤立子一定具有迷向S曲率。最后给出了一个Randers测度空间是具有常S曲率的芬斯勒梯度Ricci 孤立子的一个等价条件。