实Hilbert空间中二阶锥互补问题的理论和算法研究

实Hilbert空间中二阶锥互补问题是一类涵盖面广、具有广泛应用背景的均衡优化问题，对此问题的研究目前仍处于一个起步阶段。本项目旨在对此问题进行理论分析和算法研究。具体的研究内容如下：（1）理论方面，利用若当代数技术对实Hilbert空间中二阶锥互补问题可行性、解的Lipschitz连续性以及对线性算子H?lder连续性和Z-变换等性质进行研究；(2)算法方面，对实Hilbert空间中二阶锥互补问题求解算法（光滑型算法和效益函数法）进行理论性分析和数值计算。理论分析主要包括光滑型算法的收敛性分析和效用函数的光滑性、水平集有界性以及误差界分析等内容；数值计算主要对提出的各类算法，进行数值试验。本课题是理论性和应用性都比较强的边缘交叉课题，在工程力学、控制理论以及分布参数系统中的优化问题等领域都有着广泛的应用。因而，对实Hilbert空间中二阶锥互补问题理论及其算法的研究具有重大的研究价值。

本项目考查实 Hilbert 空间中的二阶锥互补问题，研究内容主要包括两部分内容。第一部分内容：考查实Hilbert空间中二阶锥互补问题的可行性和解的相关性质。主要贡献如下：（1）研究单调二阶锥线性互补问题的可行性和解集的结构特征；（2）考查了比二阶锥更为广泛的对称锥互补问题解映射的Lipschitz连续性；（3）对于二阶锥互补问题，也探讨了线性算子Z-变换的性质。第二部分内容：对二阶锥互补问题的求解算法进行了理论和算法分析。主要贡献如下：（1）关于互补问题，考查了几类效用函数相同的增长性、水平集的有界性以及误差界等理论问题；（2）提出了求解二阶锥互补问题的光滑型算法，并证明了算法的全局收敛性；（3）考查了由对称锥（包含二阶锥）导出不等式系统的误差界等相关理论；（4）利用光滑的NR效用函数和一般的FB效用函数， 也考查了一类关于求解凸二阶锥优化问题的神经网络方法，并通过数值计算体现了该方法的有效性。