几类重要非线性方程的动力学行为研究

This project is aimed at some important nonlinear equations to carry out the following research work:.. (1) The qualitative theory of differential equations, the bifurcation method of dynamical systems and the soliton theory of mathematical physics will be employed to study the existence, stability and bifurcation et al dynamic behavior of nonlinear waves in CH equations with high order or high degree. .. (2) The theory of Besov space and the theory of partial differential equations will be used to study properties of solutions for above equations in Besov space. Under different parameters and different initial function as well as different boundary conditions, consider the existence, uniqueness and blow-up of solutions. Also the continuity and the uniform dependence of solution map will be investigated... (3) The theory of random dynamical systems and method of probability statistics will be utilized to study the existence and persistence of travelling wave solutions in the KPP random perturbation equation. Also the ergodicity and the existence of the attractor will be studied. How to expand these theory and method to study the dynamic behavior of the CH equation with random disturbance also will be explored.

本项目拟针对几类重要的非线性方程开展以下研究工作：..（1）利用微分方程定性理论、动力系统分支方法以及数学物理孤立子理论等去研究高阶和高次CH方程等波动方程的各种非线性波存在性、稳定性以及分支等动力学行为。..（2）利用Besov空间理论以及偏微分方程理论及方法去研究上述方程在Besov空间中解的性质，考虑不同参数、不同初始函数以及不同边界条件下解的存在唯一性、爆破性以及稳定性等问题，也研究解映射的连续性以及对初始函数的一致依赖性等问题。..（3）利用随机动力系统理论以及概率统计方法去研究KPP随机扰动方程的行波解存在性以及持续性，也研究遍历性以及吸引子的存在性等动力学行为，并探索如何拓展这些理论和方法去研究上述波动方程在随机扰动下的动力学行为。

偏微分方程是数学联系实际的一座重要桥梁，凡是与时间有关、且有多个变量的实际问题，其数学模型都涉及偏微分方程，因此，关于该类方程的研究既有理论意义、又有实际应用的需求。本项目围绕出现在流体力学、分子动力学、生物与生态学等领域中的几个偏微分方程进行研究。本项目共分为四个方面，第一方面是研究了几个波动方程行波解的存在性以及分支性质；第二个方面是研究了著名的分子动力学方程Boltzmann方程的及其广义形式在某些特殊空间中的柯西问题；第三个方面研究了生物及生态学中的几个趋化模型的适定性、有界性及大时间行为等；第四个方面研究了两类随机扰动方程行波的存在性及其分支行为。共发表了20篇论文，这些论文中的方法可供借鉴，其结果可供应用参考。