基于个体尺度结构种群系统的最优控制和数值计算

The study of population systems are of great significance for species conservation, management of renewable resources, containment of pests and parasites, and epidemic intervention. Mathematical modelling has become one of the significant methods in the study of ecology. To develop sustainably, we should seek economic profits, present or future, on the basis of the persistence of populations in the exploitation process of biological resources. The considerations above require a scientifical management to the resources and artificial adjustments to the evolution of populations. In this project, we first formulate some mathematical models for size-structured poplations with nonlinear hybrid system of ordinary and partial differential and integral equations, then investigate their dynamical behaviors , related control problems and numerical ayalysis methods by means of functional analytic approach (e.g., semigroups theory, Ekeland variational principle, etc.), differential equations, integral equations, numerical methods and modern control theory. We expect that the process results in some novel theories and approaches in applied math, advances in mathematical ecology, and scientifical criterions in the management of renewable resources. Meanwhile, the research in the project must be helpful to other systems in applied sciences, such as epidemiology, economics and sociology.

深入研究生物种群的演变规律, 对保护生物多样性、管理可再生资源、控制病虫害及预防流行病等具有重要的意义。当前，数学建模方法已经成为生态学研究领域的重要方法之一。为了实现可持续发展，在开发生物资源时，既要考虑经济利益，又要保证资源的长期存在，还需兼顾当前利益和长远利益。这就要求对生物资源进行科学管理，对生物种群的演变和利用施行人为调控。本项目以偏微分方程、微分-积分方程组建立若干带个体尺度结构的种群模型，综合应用泛函分析（如算子半群理论，Ekeland变分原理等），微分方程，积分方程，数值计算方法，以及现代控制论等工具，发展应用数学的理论和方法，研究其动力学行为、相关的控制问题和数值计算方法，推动数学生态学进步，为生物资源保护、维护生态平衡，以及可再生资源的开发与管理提供科学理论依据。与此同时，本项目研究结果还将为传染病的防控、经济系统控制问题、某些社会学问题等系统研究提供方法支撑。

在生物学和人口统计学中, 建立基于年龄结构的种群模型是进行数学建模及控制的一种传统方法. 深入研究生物种群的演变规律, 对保护生物多样性、管理可再生资源、控制病虫害及预防流行病等具有重要的意义. 近年来, 考虑个体Size结构的种群模型引起了很多关注, 并得到了一些研究成果. 一般来说, Size指标比年龄指标更直观、更容易测量, 并且Size结构模型能更好地描述许多种群的演化过程, 特别是对海洋无脊椎生物(如藤壶、珊瑚)和许多变温动物(如鱼、蛇). 另一方面, Size结构模型对开发利用可再生资源具有重要作用.. 考虑几类具有Size结构的种群动力系统, 研究它们的动力学性态(如解的存在性, 唯一性, 非负性, 有界性, 稳定性, 解对模型参数的连续依赖性等)和控制问题(如最优收获控制, 最优出生率控制). 综合应用(线性和非线性)泛函分析(如算子半群理论, 切锥法锥技巧, Ekeland变分原理等), 微分方程, 积分方程,以及现代控制论等工具, 得到一些理论成果, 为模型的实际应用提供了必需的科学理论依据.. 该课题的主要工作如下：. 分析一类食饵种群带有尺度结构的种群系统的最优收获问题。 利用不动点定理证明了状态系统及其共轭系统非负解的存在唯一性, 解对控制变量的连续依赖性。应用切锥法锥技巧导出了最优性条件, 借助Ekeland变分原理讨论了最优收获策略的存在唯一性；. 讨论了一类带性别比的阶段尺度结构种群模型。首先讨论了系统的正平衡态。然后利用特征性及前置估计方法，分别给出了正平衡态的局部和全局稳定/不稳定条件，研究表明：当基本再生数小于1时，无论种群的初始分布如何，该种群均会趋于灭亡。另一方面，借助Laplace变换，研究了种群的长期行为。. 建立并研究了一个包含三阶段的Size结构种群模型。 首先以偏微分方程, 微分-积分方程组建立了考虑三阶段(种群个体分为卵,幼体,成体三个阶段)的种群模型, 其中卵及幼体阶段均考虑年龄结构, 成体阶段考虑Size结构。 其次应用特征线方法及比较原理, 证明了状态系统解的存在唯一性。 最后利用上- 下解技巧分别给出了种群灭绝及种群长期生存的条件。