基于特征投影分解的随机种群发展系统数值计算方法研究

For stochastic age-dependent population evolution models, the effects of the calculation time on calculation method are not well documented due to the fact that there is little work on the numerical methods, and that most of the existing numerical methods for solving such problems are based on Euler scheme. Meanwhile, the associated algebraic system usually involves in a large number of degrees of freedom, which greatly limits their practical applicability. The proper orthogonal decomposition (POD) is one of the most effective model reduction technique and has found widespread applications in the computational fluid dynamics. In this project, in order to alleviate the computational load and provide CPU and memory requirements savings, we shall apply the POD technique to studying the finite element formulation for stochastic age-dependent population evolution models, whose stochastic disturbance are Brown motion、G-Brown motion、Lévy process and fractional Brownian motion, and establishing a reduced finite element formulation with lower dimensions and enough high accuracy for such problems. Here, the basis functions of the usual numerical method are substituted with the POD basis functions reconstructed by the elements of the ensemble to derive the POD-reduced numerical formulation. We shall discuss the relations between the POD error bounds and the number of POD basis functions, and prove the global exponential stability. Our work can be seen as a useful supplement to existing work, and will provide an alternative approach for numerical simulations of stochastic population system models and stochastic partial differential equations.

目前国内外对随机种群模型数值算法的研究还很少，现有的方法主要是基于Euler格式，因而不能很好地揭示运算时间对算法产生的影响。同时，离散格式的自由度往往太多，会导致计算量大等问题，对于实际应用会产生很多困难。特征正交分解方法是一种非常有效的降维方法，广泛应用于偏微分方程计算中。本项目以提高随机种群模型数值计算速度为目标，拟将经典的有限差分和有限元格式与POD方法结合，利用连续型的特征投影分解基函数代替分步向后Euler格式和Crank-Nicolson格式的基函数，针对随机扰动分别为Brown运动、G-Brown 运动, Lévy过程和分数Brown运动的四类随机种群发展模型，建立一种维数较低而精度足够高的简化数值格式，讨论数值解的指数稳定性，并给出基于 POD 方法的解与经典数值解的误差估计。该研究是对现有工作有力的补充和完善，可为随机发展型偏微分方程的数值计算提供新思路和理论依据。

（1）将特征正交分解（Proper Orthogonal Decomposition (简记为POD)法, 分别应用于一类带Poisson 跳的随机单种群系统和两种群系统。给出了基于有限元的 POD 方法，得到了具有维数较低和较高精度的有限元（FE）格式. 并得到模型 POD 降维有限元解和通常有限元解之间的误差估计。. (2)在年龄结构扩散传染病模型的基础上，分别引入随机项Brown 运动、Markov调制和Possion 过程，建立了两类年龄结构随机扩散流传染模型. 同时将POD 降维有限元方法应用于具有Brown 运动和Possion跳的年龄结构随机扩散传染病模型，分别构建了计算量少具有足够高精度的POD 降维有限元格式，给出了模型POD降维有限元解和通常有限元解之间的误差。 通过数值例子验证了在POD 降维有限元解和通常有限元解之间的误差足够小的情形下， POD 降维有限元格式比通常有限元格式大大的节省计算时间，节约内存，从而得到POD降维有限元方法的有效性。 .(3)分别将Euler法、半驯服的Euler法、多项式逼近、分裂倒向Euler法和补偿倒向Euler法应用于分数Brown运动和跳的随机种群系统。在漂移系数满足单边Lipschitz条件和扩散系数满足有界条件下，利用离散半鞅收敛定理，建立数值解的几乎必然指数稳定性和均方耗散性准则。.该研究对生态和物种的保护有着重要的现实意义，也是种群动力系统、流行病动力系统、生态系统等领域研究的热点问题，同时给出的随机环境影响下种群的最优控制策略，是生态系统管理、生物多样性保护、病虫害的预测所 迫切需要解决的关键技术问题。发表学术论文20余篇，培养硕士研究生4名。一篇论文获得宁夏自然科学优秀论文2等奖。