基于随机噪声影响的种群系统最优控制理论与数值算法研究

Considering the population growth process exists a lot of unpredictable noise affection, however, the current works research on most determined population model of optimal control. The determined population model can not very well reveal the influence in the process of the optimal control population, which is aroused by uncertainty factors and noise. This project is going to use stochastic maximum principle and stochastic differential equations to research the basic theory of stochastic population model near-optimal control. Aiming at improving optimal control convergence accuracy of numerical solutions, based on the network technology and the theory of stochastic differential equations, The project uses numerical calculation methods which are of high precision to make further researches on Hamilton-Jacobi-Bellman equation and forward-backward stochastic population model. The project provides effective numerical methods for the population development system of stochastic optimal control structure. The innovation points and characteristic of the project are to establish a more appropriate stochastic population model which uses stochastic analysis theory, the optimal control theory and numerical calculation method to research optimal control conditions of existence and numerical calculation. The study provides numerical methods for calculating of high precision to the stochastic population optimal control system, and it also offers some theory basis on the ecological environment and endangered species protection.

鉴于种群生长过程存在着各种不可预知的噪声干扰，而现有文献所研究的大多是确定种群模型最优控制问题，它不能很好地揭示最优控制过程中不确定因素与噪声对种群系统产生的影响。本项目拟采用随机极大值原理和随机微分方程的基本理论研究随机种群模型的near-optimal控制。从提高最优控制数值解收敛精度出发，利用网格技术、随机微分方程的理论，进一步研究Hamilton-Jacobi-Bellman方程和正倒向随机种群模型高精度的数值计算方法，为随机种群发展系统最优控制的计算构造高效稳定的数值算法。本项目研究的创新点和特色是建立更为符合实际的随机种群模型，利用随机分析理论、最优控制理论和数值计算方法对最优控制的存在条件和数值计算进行研究，为随机种群系统最优控制的计算提供高精度的数值方法。为生态环境和濒危物种的保护提供理论依据。

研究了随机种群模型解的存在性、唯一性、稳定性、最优控制以及数值计算方法。研究工作有四方面的内容。（1）给出模糊随机种群模型,它同时受两种不确定性因素的影响，即随机和模糊因素。运用Picard迭代的方法研究了模糊随机种群模型解的存在性和唯一性。并且给出Picard迭代近似解误差的估计式,，给出了系统解的存在性和唯一性的条件。(2) 研究了随机种群系统解的全局稳定性、几乎渐近稳定性以及指数稳定性,并给出这些稳定性判断准则。（3）分别对于随机噪声扰动为Brown运动、Markov调制、Poisson跳和分数Brown运动的随机种群系统的Near-optimal捕获问题进行了系统的研究。讨论了随机种群系统的最优逼近控制问题。采用最优控制的经典方法—最大值原理来对问题进行求解。利用随机分析一些基本原理研究了随机种群系统的最优逼近控制存在的必要条件。同时利用Ekeland变分原理对哈密顿函数进行变分处理，得到当模型的最优逼近控制的期望值为哈密顿函数的上确界时，随机种群模型最优逼近控制是存在的。另一方面通过不动点原理，分数阶性质和随机微分方程基本理论，建立了分数阶与年龄相关的随机种群控制系统弱解存在的必要条件，并给出了该系统逼近控制的条件。（4）分别基于Euler法、半驯服的Euler法、多项式逼近和将特征正交分解等数值计算方法，研究了随机种群模型高精度的数值计算方法。给出数值解的误差估计表达式，同时对数值解的均方稳定性和耗散性进行了研究。该研究对生态和物种的保护有着重要的现实意义，也是种群动力系统、流行病动力系统、生态系统等领域研究的热点问题，同时给出的随机环境影响下种群的最优控制策略，是生态系统管理、生物多样性保护、病虫害的预测所迫切需要解决的关键技术问题。发表学术论文40余篇，培养硕士研究生11名。一篇论文获得宁夏自然科学优秀论文2等奖。