个体尺度视角下种群调控问题的数学建模与研究

This project belongs to mathematical ecology: population control theory and applications. Based on eological significance of body size, we firstly formulate some typical size-structured population control models, which are integral PDEs or hybrid systems. Then we investigate their evolutional behaviors (e.g. existence, nonnegativity and boundedness of a unique solution, stability and persistence of the syetms) and important control problems (e.g. controllability of population state via vital parameters, optimal harvesting or birth control). The problems above are ecologically valuable and mathematically challengable. The research process will reveal the special role of body size, forcast the evolutional trends of the populations (e.g. extinction or permenant persistence)on the one hand, and explore the reservation and exploitation strategies of population resources on the other hand. Furthermore the project can be expected to develop some beneficial methods, promote the subject, maintain ecological balance and bio-diversity, and supply scientific criteria for decision-making of renewable resources. The research results of the project are of theoretical importance and practical applicability, which will, in the mean time, support the study of complicated systems consist of heterogeneous objcects, such as the interference of epidemics, the adjustment of economic systems and some social problems (e.g. criminality).

本项目属于数学生态学范畴、种群控制理论与应用方向。基于个体尺度在生态学上的重要性，本项目首先建立若干考虑个体尺度分布、具有典型意义的种群控制模型（偏微分积分方程组或混杂系统）。其次研究系统的自然演化行为（如解的存在唯一性、非负性、有界性，系统的稳定性、持续性）和重要的控制问题（如种群状态关于基本参数的可控性、最优保护与最优收获），这些问题具有重要的生态学意义和很强的数学挑战性。通过研究，一方面揭示个体尺度的特殊作用，预测种群的演变趋势（如灭绝、持续生存），另一方面探讨种群资源保护与开发策略。研究过程将发展应用数学的理论和方法，推动学科进步，为维护生态平衡与生物多样性、科学管理可再生资源提供决策参考依据。项目预期成果不但具有学术理论价值，也具有广阔的应用前景。本项目也将为传染病的防控、经济系统调控、某些社会问题（如犯罪）等由非均质性对象构成的复杂系统的研究提供思想方法方面的支撑。

个体尺度指标对于个体主要生命参数具有关键影响。本项目基于个体尺度建立种群（或群落）的数学模型，然后分析其演化行为，探讨相关的控制问题。具体研究内容为： 已建立基础模型14个，包括：单种群模型12个，多种群模型2个；线性模型7个，非线性模型7个；确定性模型12个，随机模型2个；单阶段模型12个，多阶段模型2个；周期环境模型3个，非周期模型11个；连续模型13个，离散模型1个。 分析了模型解的存在性、唯一性、非负性，以及一定条件下的有界性，确立了状态关于控制变量的连续依赖性。考察系统平衡态的存在性与稳定性，包括局部稳定性和全局稳定性。探讨了一类非线性系统的遍历性，对于一类三阶段系统考察了种群的持续生存与灭绝问题。探讨了线性扩散系统、非线性无扩散系统的可控性。 研究了几类最优收获问题，包括在生态平衡约束下的资源开发问题。 . 主要研究进展有：.对于具有明显阶段差异生命史的种群建立两类尺度结构模型，运用非紧半流、非稠定算子的谱分析等方法确立了模型的适定性、平衡态的全局稳定性等结果，利用上下解构造思想获得了种群持续生存或者灭绝的条件，所需参数条件合理，便于应用。对于周期种群、扩散系统、随机系统、两种群系统等探讨了最优收获问题，包括具有生态平衡约束的最优控制问题。建立了最优解的存在性，给出了最优策略的准确刻画。 对于一类具有性别比的非线性尺度结构模型，运用Laplace变换和复分析理论获得了系统的遍历性。对一类线性扩散种群系统，i建立了近似可控性；对一类非线性无扩散系统，获得了精确可控性。对一类生态平衡约束下的离散尺度结构种群，运用凸分析理论获得了最优策略的存在性，利用模型参数给出了具体的收获强度。它是一类两阶段策略：即不收获最小个体，部分收获中间尺度个体，全部收获最大尺度个体。鉴于模型具有较强的生态学背景，研究方法科学、严谨，故这批成果能为实际应用提供可靠的理论基础和方法支撑，具有较高的应用价值和良好的应用前景。. 发表SCI论文7篇、国家数学类一级期刊论文9篇；另有3篇论文被录用（2篇SCI，1篇一级）。19名研究生得到资助完成学业，另有4名在读。圆满完成预定目标。. 研究成果获得了良好的反响。项目组负责人和成员多次应邀在国际国内学术会议上做报告，一些学者和研究生开始作跟进研究。负责人应邀与山西大学、天津工业大学的学者开展合作研究。