保险模型中考虑交易成本及偿付能力限制的最优控制策略研究

In previous studies on the optimal control policies for insurance risk models, transaction costs and solvency constraints are usually ignored. However, transaction costs and solvency constraints are two important aspects in practice, and they bring a huge challenge in solving stochastic control problems. For this reason, we introduce several types of transaction costs with linear, nonlinear and convex functions and solvency constraints in risk models, and then study the optimal control problems such as investment, dividend, capital injection and risk control policies. (1)To make the modeling more realistic, we consider nonlinear diffusions, diffusions with two-side jumps and risk models with Markov environment. Within these models, we study the affection of transaction costs and solvency constraints on optimal control policies and value functions; (2)On the theoretical side, we use stochastic impulsive control, optimal stopping theory and dual theory to deal with these problems; (3)On the techniques side, we intend to do innovations by using dynamic programming principles, stochastic maximum principle, convex duality methods, viscosity solutions and backward stochastic differential equations as well. In this project, we will deeply study the techniques of stochastic control, transfer the transaction costs and solvency constraints to some conditions associated with the HJB equation, and then make the optimization problem solvable. These features make the project stand out in research. We hope that our research can not only enrich the applications of optimal control theory in finance and insurance, but also provide a more valuable reference for the industry.

在以往的研究中，交易成本和偿付能力的约束往往被忽略，但它们是现实中的两个重要因素，其存在也给最优控制问题的求解带来了本质的难度。本项目在模型中引入线性、非线性以及凹函数的交易成本和偿付能力约束条件，在各种风险模型下对投资、分红、注资、再保等控制策略进行研究。(1)在模型上，我们考虑非线性扩散模型、双边跳扩散模型和具有马氏环境的风险模型，研究不同类型交易成本和偿付能力限制对最优策略和价值函数的影响；(2)在理论中，我们用脉冲、最优停止理论和对偶理论处理有交易成本和状态限制的优化问题；(3)在方法上，我们将采用动态规划准则、最大值原理、凸对偶、粘性解、倒向随机微分方程等技术。该项目将深度挖掘随机控制技术，致力于将交易成本和偿付能力限制的影响转变为与HJB方程相关的条件，从而求得最优策略与价值函数。这使得我们的研究工作有很大学术价值，不仅能丰富随机控制的应用成果，还能为行业提供有价值的参考。

在以往的保险精算理论研究中，一些决策变量的交易成本往往被忽略，同时，鉴于保险行业的特殊性，偿付能力限制往往是进行决策的先决条件。因此，交易成本和偿付能力限制是现实中的两个重要因素，在建模时应到予以考虑，但它们的存在也给最优控制问题的求解带来了本质的难度和挑战。本项目在模型中引入线性、非线性以及凹函数的交易成本和偿付能力约束条件，在各种风险模型下对投资、分红、注资、再保等控制策略进行研究。我们研究了(1)考虑固定成本的最优再保险时间策略。我们利用最优停止理论，该问题得到了很好的解决。研究发现，从风险控制的角度，固定成本只是推迟保险公司进行再保险的时间，而从公司价值最大化角度，过高固定成本会使得再保险对保险人没有任何意义。(2)考虑固定和比例交易成本的最优分红与注资策略；我们利用动态规划原理和拟变分不等式技术从理论上证明了先连续分红注资后进行脉冲分红注资这种组合分红与注资策略可以使得公司价值达到最大，并给出了最优策略的解析表达。(3)构建了非线性扩散模型下的最优保费控制问题。我们利用非齐次泊松过程近似理论，通过构建保费价格和理赔频率之间的函数关系，得到了以保费为控制变量的非线性扩散模型，并对相应最优控制策略进行了研究。（4）考虑了保险公司因为对金融市场和保险市场之间的模型不确定而导致的模糊厌恶下的最优控制策略。研究发现，保险市场的模糊厌恶比金融市场的模糊厌恶对保险公司影响大，这意味着保险公司应该更注重对保险业务模型的精确研究。另外，我们还研究了基于偿付能力限制的保险公司投资决策与资本分配问题。这些研究成果的取得，不仅丰富了随机控制理论与方法的应用成果，还为行业提供了有价值的参考。