线性脉冲哈密顿系统的旋转数分析

Rotation number is an important concept in the theory of linear Hamiltonian systems. As the average rotational effect of the Lagrangian planes under the flow, the rotation numbers describe the essence of linear Hamiltonian systems in some sence. However, as to systems with impluses, the discontinuity may bring considerable technical difficulties. This program deals with linear impulsive Hamiltonian systems, studying their rotation numbers. The main content includes, studying the existence of the rotation numbers of linear impulsive Hamiltonian systems; analyzing the relationship between the rotation numbers and the impulsive matrices, as well as the Hamiltonians; establishing a method of calculating and estimating the rotation numbers. The main goal is to reveal the conditions for the existence of rotation numbers, and the concrete influence of all factors, in order to establish theoretical and technical foundations for understanding and studying the concept of rotation numbers.

旋转数是线性哈密顿系统理论中的重要概念。作为拉格朗日平面在流的作用下的平均旋转效应，旋转数在一定程度上刻划了线性哈密顿系统的本质。然而，对于带有脉冲的系统，不连续性会造成很大的技术困难。本项目以线性脉冲哈密顿系统为研究对象，对其旋转数进行研究。主要内容包括：研究线性脉冲哈密顿系统旋转数的存在性；分析旋转数与脉冲矩阵以及哈密顿量之间的关系；建立具体计算和估计旋转数的方法。本项目旨在揭示旋转数存在的条件，以及各因素对旋转数的具体影响，为深入理解和研究旋转数这一概念奠定理论和技术基础。

线性哈密顿系统的旋转数分析是动力系统理论中一类富有深度和意义的问题，它可以视作是最简单的圆周自同胚映射的旋转数理论在更高维的辛空间中的推广，并且揭示了线性哈密顿系统自身的某种遍历性质。本课题研究的是带有线性辛脉冲的几乎周期线性哈密顿系统，意图通过证明其旋转数的存在性以及旋转数对系统的连续依赖两个问题，建立起该类系统的旋转数的完整理论。目前我们在旋转数的存在性问题上已经取得了一些部分结果，对于几乎周期脉冲系统的旋转数存在性提出了若干个充分条件，包括脉冲矩阵的单连通分布条件、连续化脉冲函数的无旋转条件、脉冲矩阵列的矩阵-幅角二元对的几乎周期条件，以及脉冲矩阵列的极坐标分解形式的几乎周期条件等等。在以上任何条件之一成立的前提下，都可以证明系统的旋转数是存在的。这些结论一定程度上揭示了几乎周期线性脉冲哈密顿系统的旋转数与脉冲矩阵序列之间的密切联系，并且对证明无附加条件下的该类系统的旋转数的存在性（如果成立）或是构造一般情况下旋转数不存在的反例（如果存在性不成立）无疑是很有意义的。