线性哈密顿系统谱分析

本项目研究线性Hamilton系统谱分析，包括离散、连续和一般时间尺度情形。主要围绕奇异离散Hamilton系统谱分析展开研究。首先完善Hilbert空间乘积空间的对称子空间谱理论。利用该理论和Weyl-Titchmarsh理论，研究奇异离散 Hamilton算子的亏指数；正负亏指数相等和不等时，Hamilton算子自伴子空间扩张及其谱分布；奇异离散 Hamilton算子谱的正则逼近；微扰下，Hamilton算子亏指数和谱分布的变化以及误差估计。最后，将相关结果用一般的时间尺度上Hamilton算子来刻画。它不仅包含连续和离散情形，而且包含其它复杂情形。上述问题多数是国际在该领域的前沿研究课题。这些问题的解决不仅可以完善离散、连续以及时间尺度上算子谱理论，推动一般对称子空间谱理论的发展，而且对与离散问题、时间尺度问题有关的数学其它分支、学科和工程技术均有重要的理论意义和应用价值。

本项目研究线性哈密顿系统谱分析，包括离散、连续和一般时间尺度情形。. 我们发现差分算子与微分算子有一些本质的不同。例如，离散哈密顿算子所生成的最小算子一般不是稠定的，且可能是多值的。在经典算子理论中，算子都是单值的，且非稠定算子不存在伴随算子。因此，经典算子理论不适用于研究离散哈密顿算子的自伴扩张等谱问题。注意到希尔伯特空间上线性算子的图是该空间的乘积空间的一个子空间。故子空间理论是算子理论的重要发展，也为我们解决差分算子有关问题提供了很好的解决方法。目前关于子空间理论研究远未完善，还有很多重要问题尚待解决。为此，针对本项目研究的需要，我们研究了对称子空间理论中的一些问题，获得了一些重要进展，包括建立了对称子空间Glazman –Krein–Naimark 自伴扩张理论；给出了自伴子空间谱的分类，并得到了自伴子空间一系列谱性质；研究了自伴子空间序列预解收敛和它们谱集的逼近。而且，对在微扰下对称子空间亏指数和谱的不变性问题，进行了初步研究。. 利用上述所建立的子空间理论，给出了奇异离散和连续哈密顿系统生成最小子空间的亏指数刻画，以及当正负亏指数相等时，其自伴子空间扩张之完全刻画；自伴扩张的离散谱、本质谱和连续谱的一些性质；存在纯离散谱的充分条件；奇异二阶对称差分算子谱的正则逼近。而且，研究了微扰之下，奇异离散哈密顿算子亏指数的不变性，获得了一些初步结果。. 连续和离散情形是时间尺度两种重要的特殊情况。自然地，研究一般时间尺度上的谱问题也需要应用子空间理论。但由于时间尺度还包含其它复杂的情况，在研究中遇到了一些困难。目前只将小部分的离散情形的结果推广到时间尺度上哈密顿系统，部分结果正在完善中，多数问题的研究尚未开始。. 另外，本项目组成员还扩展了研究内容，对自治和非自治离散动力系统的混沌判定、混沌生成和扰动问题；分数阶方程的边值问题和振动问题；以及语言网络等问题进行了研究，取得了一些很好的结果。. 在项目执行期间，多数主要研究课题已高质量完成，且多数结果已发表在国际相关领域的重要学术刊物上。在本项目资助下共发表期刊论文48篇，国际会议论文3篇，其中SCI检索44篇，EI检索4篇。另有4篇论文已投到国际重要学术刊物上。