奇异离散线性哈密顿系统的谱分析

This project is concerned with the qualitative spectral analysis of singular discrete linear Hamiltonian systems, which contains mainly the value range of the positive and negative deficiency indices, the criterion of the deficiency index,the stability of the deficiency index, and the invariability of spectrum of discrete linear Hamiltonian systems. The spectral theory of self-adjoint operators in Hilbert spaces and the extensions of symmetric operators have been sufficiency researched, and it has been widely applied to differential opeators. With the reapid development of information technology and wide application of computer, there appear a lot of difference systems. There are many differences between differential systems and difference systems, as well as a lot of similarity. Recently, we found that the minimal operator generated by discrete linear Hamiltonian systems may be non-densely defined and multi-valued, even if the corresponding definiteness condition is satisfied. Hence, the spectral theory of self-adjoint operators in Hilbert spaces is not suitable to exploring the spcetrum of difference operaors.In this project we will estabilsh the spectral theory of no-densely defiend Hermite subspaces, and then define and invesgate the deficiency index and spectrum by using this theory. The solution of these problems is the premise and foundation of the study on self-adjoint extensions and distribution of spectrum of difference systems as well as dynamic systems on time scales. The creation of new meothds are emphasized in this project, and the achievement expected will be theoret1ical significance in many fields, suh as quantum mechanics and bioengineering.

本项目拟研究奇异离散线性哈密顿系统谱的定量分析，主要包括离散线性哈密顿系统正负亏指数的取值范围、亏指数的判定、亏指数的稳定性、以及谱的不变性等。希尔伯特空间中的自伴算子的谱理论和对称算子的自伴扩张已经有了系统地研究，并广泛地应用到微分算子中。随着信息技术的飞速发展和计算机的广泛应用，出现了大量的差分系统。差分系统与其所对应的微分系统有很多相似之处，但也有诸多不同。最近，我们发现即使确定性条件成立，由离散线性哈密顿系统生成的最小算子也可以是不稠定的和多值的。因此，自伴算子的谱理论不适用于研究差分算子谱的性质。本项目拟建立不稠定的厄米特子空间的谱理论，并利用此理论定义和研究离散线性哈密顿系统的亏指数和谱。这些问题的解决是研究对称差分系统以及时标上的动力系统的自伴扩张和谱分布的理论前提和基础。本项目的研究重视新方法的建立，拟完成的成果对量子力学、生物工程等许多学科的研究有着重要的理论意义。

希尔伯特空间中的自伴算子的谱理论和对称算子的自伴扩张已经有了系统地研究，并广泛地应用到微分算子中。随着信息技术的飞速发展和计算机的广泛应用，出现了大量的差分系统。差分系统与其所对应的微分系统有很多相似之处，但也有诸多不同。最近，我们发现即使确定性条件成立，由离散线性哈密顿系统生成的最小算子也可以是不稠定的和多值的。因此，自伴算子的谱理论不适用于研究差分算子谱的性质。本项目的主要研究内容包括：建立和完善线性子空间的基本理论，特别是厄米特子空间的谱理论，进而应用该理论研究离散线性哈密顿系统亏指数的取值范围、亏指数的判定、亏指数的稳定性；离散线性哈密顿系统的自伴扩张域的刻画；奇异问题特征值的估计、逼近；不同边界条件下Sturm-Liouville特征值的比较；以及差分方程的混沌动力学行为等。这些结果完善了不稠定的厄米特子空间的谱理论，为研究对称差分系统以及非对称差分系统亏指数和谱分布的打下理论基础。通过本项目的研究，我们建立了利用线性子空间理论研究不稠定算子和多值算子的新方法，所得成果对量子力学、生物工程等许多学科的研究有着重要的理论意义。