奇异哈密顿系统中脉冲扰动的作用

This proposal is devoted to the impact of impulsive perturbation on the solution of singular Hamiltonian system by using critical point theory. The following two aspects are considered about the periodic solutions and subharmonic solutions of the system. On the one hand, in order to maintain the development of the original system, the impact of impulsive perturbation is restricted. On the other hand, in order to change the development of the original system, the impact of impulsive perturbation is highlighted. First of all, the existence and multiplicity of periodic solutions for singular Hamiltonian system with impulsive effects are considered. Secondly, some sufficient conditions will be established for periodic solutions generated by impulses. Thirdly, subharmonic solutions of impulsive singular Hamiltonian system will be discussed. After that, these results will be applied to Kepler's equation. Discovery of how impulsive perturbations affect the dynamics of singular Hamiltonian system is expected.

本项目旨在利用临界点理论探讨奇异哈密顿系统中脉冲扰动的作用。从以下两个方面对奇异哈密顿系统的周期解、次调和解展开探索：其一，限制脉冲扰动的作用，使得系统基本上按照原先的规律发展；其二，突出脉冲扰动的作用，使得系统原先的发展规律发生改变。具体讨论以下三个问题，首先，考虑脉冲奇异哈密顿系统周期解的存在性和多解性，其次，探索奇异哈密顿系统在什么条件下具有由脉冲生成的周期解，然后，探讨脉冲扰动对奇异哈密顿系统次调和解的影响。再此基础上，将取得的研究成果应用到Kepler方程中，获得具有实际物理意义的结果。通过上述问题的研究，以期揭示脉冲扰动对奇异哈密顿系统动力学行为的影响。

脉冲效应可以描述系统状态在短时间内发生迅速改变的现象，因此有着十分广泛的应用背景。本项目利用临界点理论探讨了脉冲扰动对奇异系统、哈密顿系统、周期解和次调和解的影响和作用。其主要的研究工作和取得的成果包括以下几个方面：（1）讨论了一类带有参数的脉冲奇异系统，当非线性项具有不同的增长性时，分别获得了相应的参数区间，使得它至少存在一个正经典解、两个正经典解；（2）考虑了一类带有凸势函数的哈密顿系统，得到了由脉冲扰动生成的非常数周期解存在的充分必要条件，从而获得了，当原问题无解时通过增加脉冲扰动使得问题的可解性发生变化的充要条件，并且将这个微分系统的可解性等价为一个代数系统的可解性；（3）探讨了一类二阶脉冲微分系统，通过估计解的能量，得到了最小正周期为pT的次调和解的存在性；（4）首次使用变分法来研究非瞬时脉冲问题，建立了它所对应的变分结构，并获得了线性问题解的存在唯一性以及非线性问题解的存在性和多解性。上述工作的研究方法和研究手段具有一定的创新性，并开拓了某些新的研究方向，这些结果丰富了脉冲微分方程的定性理论。