Dirichlet空间上的Toeplitz算子

Toeplitz operators are of importance in connection with a variety of problems in other field. Furthermore, Toeplitz operators constitute one of the most important classes of operators and they are a fascinating example of the fruitful interplay between such topics as operator theory, function theory, and the theory of Banach algebras. Dirichlet space of unit disk consists analytic fucntion with derivative in Bergman space and the Toeplitz operator on Dirichlet space is a perturbation of the Toeplitz operator on Bergman space in some sence, which makes properties of the Toeplitz operators on Dirichlet space to be more complicated and complex. By characterize analytic or geometric properties of the symbols, the project devotes to study reducing subspaces of a class of multiplication operators, (essential) commutativity of the adjoint of Toeplitz operator and Toeplitz operator, Fredholmness of weighted composition operator on Dirichlet space etc. The work will not only promote the understanding of the Toeplitz operators on Dirichlet space,but also provide the idea for general perturbation analysis of Toeplitz operators.

Toeplitz算子不仅与其他学科中很多问题有着重要的联系，而且是算子理论中研究相对深入的一类算子，是算子理论，函数论与Banach代数理论交叉作用的典范。单圆盘Dirichlet空间是由导数在Bergman空间中的函数构成，在一定意义上，Dirichlet空间上的Toeplitz算子是Bergman空间上相应Toeplitz算子的扰动，这使得Dirichlet空间上Toeplitz算子表现出很多的特殊性与复杂性。本项目致力于研究单圆盘Dirichlet空间上一类乘法算子的约化子空间，Toeplitz算子的共轭算子与Toeplitz算子乘积的交换性，本质交换性以及加权复合算子的Fredholm性等，通过对其定义符号解析和几何性质的刻画来反映算子的性质。这不仅促进对Dirichlet空间上Toeplitz算子的深入认识，而且为Toeplitz算子的一般扰动分析提供了思路。

函数空间上的算子理论是泛函分析算子理论中的一个重要分支，其研究的主要内容是通过定义函数的性质来刻画被定义算子的相应性质，包括Toeplitz算子，Hankel算子以及加权复合算子等算子类。除Hardy空间，（加权）Bergman空间上的算子理论得到广泛深入的研究外，鲜有函数空间上的算子理论被充分研究，这与函数空间在函数论中及其上算子理论在算子论中的重要性以及实际应用性不无关系。Dirichlet空间在函数论中是一类重要的函数空间，其中函数的边界收敛，零点分布等性质在上世纪50年代前后得到深入研究，但其上的算子理论直到上世纪90年代才被分析学家所关注，成果并不丰富。. 本项目主要致力于Dirichlet空间上算子理论的系统研究以及与此相关的其他函数空间上算子理论的研究。主要包括Dirichlet空间上有限阶Blaschke积定义乘法算子的约化子空间刻画，（调和）Dirichlet空间上Toeplitz算子与Hankel算子代数性质以及（加权）Dirichlet空间上加权复合算子性质的研究等内容。并取得如下成果：给出了Dirichlet空间上有限阶Blaschke积定义乘法算子的约化子空间的一个等价刻画以及与有限重加权移位算子酉等价的等价刻画；给出了Dirichlet空间上一个Toeplitz算子与另一个Toeplitz算子的共轭算子乘积为零的刻画；给出了调和Dirichlet空间上Toeplitz算子与小Hankel算子的交换性以及两个小Hankel算子的交换性与零积性的刻画；给出了加权Dirichlet空间上有界Fredholm加权复合算子的统一刻画。. 在以上对Dirichlet空间上相应算子性质的研究基础上，对其他函数空间上的算子性质也做了部分研究，包括调和Bergman空间上Toeplitz算子有限秩换位子的刻画，Fock空间上酉，可逆以及一类正规加权复合算子的刻画等。. 在本项目资助下，所得研究成果丰富了函数空间上的算子理论，促进对相关问题的纵深研究。