黎曼流形路径空间上扩散测度的刻画及其应用研究

This project will focus on the characterization and applications of diffusion measure on the path space over Riemannian manifold. It features generalizing the characterization and applications of finite dimensional measures on Euclidean space to diffusion measures on the path space over Riemannian manifold by the theories of stochastic analysis on manifolf and infinite dimensional stochastic analysis, which manifests the significance of this project in both theory and practice. Considerable work has been done in this area over the last decade and many other problems are still open. The investigation of this project will include the follows. By constructing proper vector space, we will study the Brownian bridge measure on the loop space over simple connected Riemannian manifold can be characterized through its integration by parts formula. For non-simple connected Riemannian manifold, we will study that whether Brownian bridge measure can be characterized through its integration by parts formula or not. Furthermore, we will study the generalized central limit theorem, uinform and non-uniform.Berry-Esseen bound. The topics above are very original, challenging, as well as useful in practice. The recent work we have done in this area provides this project with essential prerequisite and practical scheme.

本项目研究黎曼流形路径空间上扩散测度的刻画及其应用，其特点是利用随机微分几何和无穷维随机分析理论，将欧氏空间有限维测度的刻画及相关应用扩展到黎曼流形路径空间扩散测度上，因此在理论与实际方面都具有重要的意义。近十几年来，该研究领域方兴未艾，成果丰富，同时又有许多亟待解决的问题。本项目主要研究的课题包括：通过构造恰当的向量场，研究单连通黎曼流形环路空间上的布朗桥测度的唯一刻画问题；研究多连通黎曼流形环路空间上的布朗桥测度是否可由其分部积分公式唯一刻画；利用扩展的 Stein 方法，研究相应的广义中心极限定理以及一致与非一致 Berry-Esseen 界。这些研究内容具有创新性，挑战性和实际应用价值。近年来，我们在该领域所做的工作和取得的成果为本项目提供了坚实的研究基础与可行的研究方案。

本项目研究黎曼流形路径空间上扩散测度的刻画及其应用，其特点是利用随机微分几何和无穷维随机分析理论，将欧氏空间有限维测度的刻画及相关应用扩展到黎曼流形路径空间扩散测度上。另外，我们研究了和本项目相关的若干高斯过程驱动随机微分方程解及参数估计和凸优化等问题。这些研究内容在理论与实际方面都具有重要的意义。项目原计划目标大部分都已完成，按照拟采用的研究方案取得了比预期更为丰富的研究成果，具体研究的内容和结果包括：(1) 通过构造恰当的向量场，证明了单连通黎曼流形环路空间以及环路群上的布朗桥测度可由其分部积分公式唯一刻画。部分结果已被《Bernoulli》接收，部分结果投稿至《Science China Mathematics》；(2) 通过构造反例，说明了在多连通情形下，布朗桥测度不可由其分部积分公式唯一刻画。部分结果已被《Bernoulli》接收；(3) 研究分数扩散过程的分部积分公式、对数不等式、鞅表示定理及刻画问题，部分结果已发表在《Acta Mathematica Scientia》，部分结果已被《数学学报》接收；(4) 研究由若干高斯过程驱动的随机微分方程解的矩估计问题，我们给出了解的存在唯一性以及p阶矩估计，部分结果已被《数学学报》接收，部分结果已投稿；(5) 研究若干高斯过程驱动随机波动模型的参数估计及应用问题，我们给出了模型的估计量以及在金融中的应用，部分结果已发表在《应用数学学报》，部分结果投稿至《统计研究》等期刊；(6) 凸半无限多项式规划问题相关研究，相应结果均发表。