黎曼流形上的曲率流及其应用

自从R.Hamilton在上世纪八十年代引入Ricci流以来, 曲率流越来越引起几何学家的重视. 我们希望能通过深入研究黎曼流形上的曲率流，特别是Ricci流和Yamabe流，在一年内力图解决如下问题：. （1）用曲率流（Ricci流和Yamabe流）研究黎曼流形上带pinching条件的Myers型定理，既满足一定的pinching条件的黎曼流形一定为紧致的；.（2）研究渐进平坦的非紧黎曼流形上的Yamabe流和ADM质量的关系，以及Yamabe流在渐进平坦的非紧黎曼流形上的全局存在性以及其收敛性。

我们目标是研究如下两个问题：. （1）用曲率流（Ricci流和Yamabe流）研究黎曼流形上带pinching条件的Myers型定理，既满足一定的pinching条件的黎曼流形一定为紧致的；. （2）我们希望研究渐进平坦的非紧黎曼流形上的Yamabe流和ADM质量的关系，既研究ADM质量在Yamabe流下的变化，以及其在物理上的应用。.对于第一个问题我们证明了一个阶段性的结果，我们证明了在$\mathbb{R}^3$上的Ricci流有可能收敛到cigar与实直线的乘积，以后我们将在这个结果的基础上进一步研究问题一。.对于第二个问题，我们研究了ADM质量在Yamabe流下的行为，证明了Yamabe流保持渐进平坦性质，在三维和四维渐进平坦流形上， ADM质量在Yamabe流下保持不变，在维数大于4的渐进平坦流形上，ADM质量在Yamabe流下单调非增。