一类新的距离测度空间上Morrey空间的等价刻画及应用

In 2010, Hyt?nen introduced a new class of metric measure spaces, which are so-called non-homogeneous metric spaces, and established a new theory in this setting. Non-homogeneous metric spaces are actually non-doubling measures, which include the spaces of homogeneous type and and Euclidean spaces with the non-doubling measures satisfying the polynomial growth condition. In this sense, it is a simultaneous generalization of the above two measure spaces. On the other hand, function spaces in mathematics and modern classic mathematics play a very important role. Among them, Morrey space and other branch of mathematics, especially partial differential equations are closely linked. It plays a significant role in the local properties of nonlinear elliptic equations. So this project has doubling meanings not only in theory but also in application. Equivalent characteristics of Morrey spaces on a new class of metric measure spaces and its applications are researched, including: (1) the doublng type and Campanato type equivalent norms of Morrey spaces on non-homogeneous metric spaces; (2) boundedness for certain classic operators (such as the maximal operator, the fractional operator and singular integral operator, etc) on non-homogeneous metric spaces; (3) generations of the above problems in generalized Morrey spaces and vector-valued situation.

2010年Hyt?nen引入一类新的距离测度空间，即所谓的非齐型距离空间，并在此基础上发展了一套新的理论。非齐型距离空间是一个以抽象空间为底的非倍测度空间，它不仅涵盖了Coifman-Weiss 定义的齐型空间，还包含了Tolsa 定义的具有多项式增长条件的非倍测度空间。因此，具有广泛的一般性。另一方面，函数空间的研究在经典及现代数学中都起着重要的作用，其中Morrey空间与数学的其它分支，尤其是偏微分方程有着密切联系，它在非线性椭圆方程的局部性质方面扮演相当重要的角色。所以，研究非齐型距离空间上Morrey空间有着理论和应用上的双重意义。本项目主要研究这类新的距离测度空间上Morrey空间的等价刻画及应用，具体研究工作包括：非齐型距离空间上Morrey 空间的各类等价刻画；非齐型距离空间上广义分数次积分算子在Morrey空间上的有界性；上述问题在广义Morrey空间及向量值情形的推广。

描述现实中事物发展趋势的许多问题均可归结为研究某些算子在一定函数空间上的有界性问题，该理论在偏微分方程、概率论、多复变函数等学科有着广泛的应用，且在偏微分方程中的应用尤为突出。本项目着重研究在更一般的距离测度空间上建立函数空间及其上积分算子的有界性理论。本项目考虑的一类新型距离测度空间是一个以抽象空间为底的非倍测度空间,具有广泛的一般性。具体研究工作包括：新型距离测度空间上，合理定义和研究了Morrey空间及其双倍型、Campanato型的范数等价关系；新型距离测度空间上，给出了极大算子在Morrey空间的有界性条件；一定测度条件下，得到了几类经典积分算子在Morrey空间的有界性等。本项目的研究结果是某些已知结果的推广，同时通过运用本项目研究问题的方法及研究成果，亦有望解决与偏微分方程相关的若干交叉问题。除此，项目组还在前面的研究工作基础上继续深入研究，得到了一系列有意义的成果。具体的研究成果包括：得到了几类沿曲线振荡积分在一定的粗糙核条件下的Triebel-Lizorkin有界性；证明了多线性分数次积分算子和交换子在端点处的加权有界性，推广及优化了单线性情形的结果；通过研究乘积空间上函数的径向傅里叶变换，将变量在高维空间上径向多变量函数的傅里叶变换的计算转化为对低维空间上该函数傅里叶变换的微分运算。最后，本项目还结合高分子材料学的相关知识，在高分子模拟计算方向积累了一定的研究基础，并将此研究方向确定为未来研究的主要方向之一。