随机微分方程保结构算法及其应用

该项目研究随机动力系统辛算法和其它保结构算法及其在随机控制等领域的应用。主要研究随机生成函数法中高阶项系数的确定，以及高阶随机积分的计算机模拟，以期构造理论上高阶的辛格式并实现它；研究随机变分积分子的具体应用；研究随机偏微分方程的多辛结构和多辛算法；结合控制、统计、多尺度模拟和计算等领域中的具体问题，研究随机微分方程保结构算法及其应用。

项目依研究计划对随机微分方程保结构算法及应用的相关问题进行了研究：深化并进一步完善了随机生成函数和变分积分子的研究，改进了随机生成函数的形式级数，应用一个关于高阶系数的结果，研究第三类生成函数，并与第一类进行比较；用随机作用泛函的一种新的离散方法构造随机变分积分子，应用于随机振子；将随机辛结构和随机辛算法由随机Hamilton常微分方程推广到随机多辛Hamilton偏微分方程，提出了随机多辛守恒律和离散随机多辛算守恒律的刻画；作为实例应用到一类非线性随机Schroedinger 方程和随机KdV方程的数值模拟，揭示了这些系统的随机多辛结构，并构造随机多辛算法；研究了随机Runge-Kutta方法对随机微分方程二次不变量保持上的误差，包括显式方法的保持误差、达到一定保持精度的条件，以及隐式方法迭代实现带来的保持误差的理论分析，为构造、分析随机近辛算法等随机近似保结构算法提供相关的理论；从不同途径研究了几类偏微分方程的保结构算法，并探讨其到随机偏微分方程的推广。