随机辛算法和多辛算法

The project is aimed at investigating two subjects. Subject 1 is about stochastic symplectic methods for stochastic Hamiltonian ODEs, including the construction of the stochastic symplectic methods based on splitting methods, composition methods, Pade approximation and stochastic interpolation, which belong to the class of approaches establishing symplectic methods for deterministic Hamiltonian systems based on the differential equations themselves. We hope to generalize these methods to the stochastic context. Convergence order will be analyzed and numerical tests will be performed. On the other hand, we apply our former results on stochastic generating functions to the backward error analysis of stochastic symplectic methods; Subject 2 is about stochastic multi-symplectic methods for stochastic Hamiltonian PDEs, including the construction of such methods using splitting methods, exponential integrators in the time direction, as well as using finite element methods, pseudo-spectral methods and splitting methods in the space direction. Further we apply these methods to some stochastic models in physics to test their long time behavior and structure-preserving properties.

本项目围绕两个课题进行研究。课题一：随机Hamilton常微分方程辛算法，研究基于分裂法，复合法，Pade逼近和随机积分插值的随机辛算法的构造、收敛阶分析和数值实验。这些方法属于基于方程本身的算法，是三大类构造辛算法的途径之一，项目旨在将确定性辛算法基于这一途径的方法推广到随机系统。此外，利用我们前期关于随机生成函数的研究结果对随机辛算法进行向后误差分析；课题二：随机多辛Hamilton偏微分方程的多辛算法，包括时间上采用分裂步、指数积分子等方法构造随机多辛格式，以及空间上采用有限元、拟谱、高维空间采用分裂方法等构造随机多辛格式，并将这些格式应用于一些物理中的方程，研究其长时行为和保结构特性。

随机哈密顿系统的随机辛算法的较为系统的研究始于2002年，Milstein等在 SIAM J. Numer. Analy. 发表了两篇关于随机辛算法的论文，其中证明了随机哈密顿系统相流几乎处处保辛结构，并给出了可加和可乘噪声情形下一些随机辛算法的构造和分析。之后，出现了基于随机生成函数和随机变分积分子两大类系统性的构造随机辛算法的方法。本项目从另一个途径-随机微分方程本身出发，构造随机辛算法和近辛算法，主要研究了基于Pade逼近、分段线性插值、李代数方法、指数离散梯度方法等的随机辛算法和近辛算法的构造，及分析；此外，我们研究了弱收敛随机辛算法向后误差分析，利用随机生成函数建立了随机弱收敛辛算法的随机修正方程，并证明其修正方程仍为随机哈密顿系统，是原系统的h-扰动系统；2013年我们发表在 Commun. Comput. Phys. 的论文曾揭示了具有随机多辛几何结构的随机哈密顿偏微分方程，及随机多辛几何算法的刻画，本项目中，我们对随机多辛哈密顿偏微分方程的随机多辛几何算法进行了更为深入的研究，主要包括随机Maxwell方程、随机Schrodinger方程等的随机多辛几何算法的构造、收敛性、保结构特性的分析，随机多辛 Runge-Kutta 方法的多辛条件、构造和分析，随机辛局部间断Galerkin方法、紧致格式的构造、收敛性、稳定性、保结构特性的分析，等；同时，我们研究了随机微分方程若干高效算法的设计和分析，如随机刚性方程的随机计算奇异扰动算法、变量变换方法，随机L-G 型方程的随机指数离散梯度算法，及其收敛性、保结构特性的分析，等。项目研究成果是对随机辛算法和多辛算法、随机保结构算法，以及一些类型的随机微分方程高效算法研究的丰富和发展。