Oliver猜想及相关问题的研究

Finite p-groups play a basic and important role in the finite group theory. The research on them is to classify all finite p-groups and the properties of maximal abelian subgroups of finite p-groups are a key way to such a classification. Let M(G) be the set of orders of all maximal abelian subgroups of a finite p-group G. Some finite p-groups with | M(G) | = 1 were known. Oliver conjecture on p-groups arises from the local group theory and it has a deep background of both topology and group representation theory. In this project, we plan to give a complete classification of finite p-groups with | M(G) | = 1 and 2, and verify whether Oliver conjecture holds for such p-groups or not.

有限p-群研究是有限群论最基础、最重要的分支之一，其终极目标是分类全体有限p-群。有限p-群的极大交换子群是分类有限p-群的关键工具之一。令M(G)为有限p-群G的所有极大交换子群阶的集合。已有研究结果给出了一些|M(G)|=1的有限p-群。关于p-群的Oliver猜想主要产生于局部群论的研究，它有深刻的拓扑和群表示论背景。本项目将以极大交换子群作为主要工具，计划给出|M(G)|=1和2的有限p群的完整分类，并拟利用该分类检验Oliver猜想对|M(G)|=1和2的有限p群是否成立。

Oliver猜想是有限p群研究领域的一个公开问题，自提出以来，就得到了广泛研究。本项目主要围绕使该猜想成立的群类这一新视角开展研究，以极大交换子群的阶和非拟正规子群的共轭类个数为切入点，系统研究使Oliver猜想成立的群类。在项目周期内，我们确定了极大交换子群的阶为p^m (m=n-2或2)及为p^n-1或p^k(k=n-2,n-3或2)的所有p^n阶群，并证得这些群类均使得Oliver猜想成立；完全分类了非拟正规子群的共轭类个数在闭区间[1,2p]上的有限p群，这些群均使得Oliver猜想成立。此外，我们发现，通过交换群的结构及群扩张等群论方法可以解决部分正定格的分类问题，故将其选作项目的拓展研究内容，目前，已完全分类了行列式为4且秩为5的正定格。