若干情形下的Broué猜想与Donovan猜想

Main conjectures in representation theory of finite groups, such as Alperin Conjecture, Broué Conjecture and Dade Conjecture, were reduced to simple groups or to quasisimple groups. Representation of special groups, such as simple groups and quasisimple groups, is the main task of current representation theory of finite groups. Hereby we propose the verification of Broué Conjecture and Donovan Conjecture for the principal blocks or unipotent blocks of some special groups. We expect to prove the existence of equivariant splendid equivalence between the principal blocks of some finite groups and their Brauer correspondents, such as finite groups with Sylow 3-group of order 9 or abelian Sylow 2-subgroup, Alternating groups，Sporadic groups and so on, to characterize unipotent blocks of unitary groups with weight 2 and the principal blocks of some projective special linear groups and prove Broué Conjecture and Donovan Conjecture for these blocks, and to prove Donovan Conjecture for the principal blocks of some projective special linear groups.

有限群表示中重要的猜想，如Alperin猜想、Broué猜想、Dade猜想，目前都约化到了单群或者拟单群。具体群的表示，尤其是单群及拟单群的表示，是当前有限群表示研究的主要任务。具体群的表示有其自身的意义。在具体群表示的研究中，也会出现一些具有理论意义的现象。据此，本项目提出研究Broué猜想与Donovan猜想对一些具体的群的主块或unipotent块是否成立。预期将证明一些有限群的主块与其Brauer对应之间存在保持群自同构的splendid Rickard等价，如Sylow 3-子群是9阶初等交换群或Sylow 2-子群是交换群的有限群、交错群、零散单群等；给出酉群的重为2的unipotent块与一些射影特殊线性群的主块的代数结构的刻画，证明Broué猜想对酉群的重为2的unipotent块与一些射影特殊线性群的主块成立；证明Donovan猜想对一些射影特殊线性群的主块成立。

本项目对有限群表示论中当前热点猜想如Alperin猜想、Broué猜想、Donovan猜想等展开了研究，获得了如下研究成果：..我们证明了Broué猜想对亏群是秩为3的交换2-群的块代数成立，Donovan猜想对交换且秩为3的交换2-群成立，与Charles Eaton等一起完成了对亏群是秩为3的交换2-群的块代数的分类，对这类块代数的分类做出了重要贡献。..Rouquier猜想是Broué猜想的推广。我们构造出了Rouquier猜想成立的系列例子；当块代数的超聚焦子群是秩为2或3的交换2-群时，我们计算出了这类块代数的不可约Brauer特征标与不可约特征标的个数；特别地，Alperin猜想在这些情形下成立。上述研究为Rouquier猜想提供了有力的支撑。 ..众所周知，导出等价隐含perfect isometry。在块扩张的框架下, 我们证明了perfect isometry可以提升到导出等价，给出了该结论的逆命题。..我们刻画了Sylow子群的automizer的阶是奇数的有限群的合成因子，推广了Guralnick、Malle、Navarro等的工作。..Basic Morita等价同样具有非常好的局部性质，人们想当然地认为Basic Morita等价同样隐含块之间的isotypy。我们的研究表明事实并非如此，并给出了Basic Morita等价隐含块之间的isotypy的充分必要条件。..除此之外，我们还研究了有限群代数的双曲模、广义Gagola特征标等。