Mahler猜想及相关问题

Convex geometric analysis is an interdisciplinary subject of the geometry and functional analysis which has developed on the basis of the classical Brunn-Minkowski theory in 1980s. Mahler conjecture is an important open problem in convex geometric analysis. Mahler conjecture can be expressed as following: (1) For the centrally symmetric convex bodies, cubes have the minimal Mahler volumes; (2) For the non-symmetric convex bodies, simplexes have the minimal Mahler volumes. This project mainly includes: Mahler conjecture on the three-dimensional centrally symmetric convex bodies; Mahler conjecture on certain special classes of convex bodies (e.g., convex bodies which are symmetric with respect to a coordinate plane, parallel sections homothety bodies, bodies of revolution, polytopes with at most ten vertices); the functional forms of Mahler conjecture and related analysis inequalities; the extremal properties of the polar body of a convex body. In the research process, we will combine the geometrical methods with modern analytical tools (Fourier transform, spherical harmonics, the local asymptotic theory, etc.), and strive to create some new research methods to enhance our awareness of the duality of convex bodies and spaces, promote the research on Mahler conjecture.

凸几何分析是20世纪80年代在经典Brunn-Minkowski理论的基础上发展起来的几何学与泛函分析相结合的一个交叉学科。 Mahler猜想是凸几何分析中的一个重要的未解决问题。 Mahler猜想可以表述为：（1）在中心对称的凸体中，立方体具有最小的Mahler体积；（2）在非中心对称的凸体中，单纯形具有最小的Mahler体积。本项目的主要研究内容包括：三维空间中心对称凸体的Mahler猜想；特殊凸体类（关于一个坐标平面对称的凸体、平行截面体、旋转体、最多十个顶点的多胞形）上的Mahler猜想；Mahler猜想的函数形式及相关分析不等式；凸体极体的极值性质。在研究过程中，我们将把几何方法和现代分析工具（Fourier变换、球面调和、局部渐进理论等）结合起来，力争创造一些新的研究方法，以加深我们对凸体和空间的对偶性认识，推动Mahler猜想的研究。

已完成的项目主要研究凸体的 Mahler 猜想及相关问题，在凸体的体积、表面积、赋值、Orlicz Brunn-Minkowski 理论、仿射等周不等式等研究中取得了较为丰富的研究成果。具体为：证明了连续、反变的 Lp Blaschke 赋值一定为Lp曲率像算子，并证明三维空间中的连续、协变的 Lp Blaschke 赋值是不存在的，二维空间中的连续、协变的 Lp Blaschke 赋值是 Lp 曲率像算子的90 度旋转；运用 Steiner 对称的技术建立了 Lp Mean Zonoid 的仿射等周不等式；给出了合理的 Orlicz 加法的定义，建立了Orlicz Brunn-Minkowski 不等式，给出了Orlicz 混合体积的定义并且证明了定义的合理性与积分表达式；解决了以色列数学家 S.Dar 提出的关于加强版的 Brunn-Minkowski 不等式的猜想的二维版本，给出了二维Dar 猜测等号成立的充分必要条件，并发现了Dar 猜想与对数Brunn-Minkowski不等式的联系，从而回答了 G.Zhang 的一个公开问题；给出了 Orlicz 赋值的一个分类并证明了 Orlicz 投影体算子和 Orlicz 差体算子不是 Orlicz 赋值。