保守振动方程周期解的存在性研究

In this project, we will study the existence of periodic solutions for conservative oscillatory equations, the structure of Fucik spectrum for higher order and multi-dimension equations, and the structure for fractional differential equations under periodic conditions. In oscillation analysis, by using oscillatory spectrum and Fucik spectrum to control increasing order and asymptotic behavior for potential function, we will yield the criteria of existence of periodic solutions for conservative equations under crossing resonance points; seek interrelation of existence of periodic solutions among conservative types of differential equations, p-Laplacian equations and fractional differential equations under the frame of the spectrum and Fucik spectrum, so that reveal mechanism and uniform law of existence of periodic solutions; establish criteria of existence of periodic solutions for higher order and multi-dimension differential equations and fractional differential equations; take numerical analysis for studied problems, and take empirical analysis to dynamic behavior of the relative conservative systems and the time-varying conservative systems of asymmetrical frequency spectrum.The results obtained this project will improve、enrich and complete the known relative works and contribute theoretic support to engineering technology and economic analysis, ect.

本项目研究保守振动方程周期解的存在性，研究高阶、高维微分方程周期问题Fucik谱的结构和分数阶微分方程周期问题谱的结构。在振动分析中，利用振动的谱点和Fucik谱点，控制势能函数的增长阶和渐进状态，给出在跨共振点情况下保守振动方程周期解存在性的若干判据；在谱和Fucik谱的框架下，探求保守型微分方程、p-Laplacian微分方程以及分数阶微分方程周期解存在性之间的内在关系，以期揭示保守型振动方程周期解存在性的机理和统一规律；建立高阶、高维微分方程和分数阶微分方程周期解存在的有效判据；对所研究的问题给出数值模拟，并对相关的保守系统和频谱不对称的时变保守系统的动力学行为进行实证分析。项目所得结果将改进、丰富和完善已有的相关工作，为工程技术、经济分析等相关问题提供理论支撑。

本项目主要研究振动方程周期解的存在性，微分方程、分数阶微分方程边值问题解的存在性、多解性，边值问题的反问题以及随机生物数学模型解的性态等问题。.对周期问题，研究一类保守型p-Laplacian微分系统周期解的存在性，在p-Laplacian微分算子Fucik谱的框架下，给出系统周期解存在性条件；研究二阶方程、二阶Lienard型p-Laplacian微分系统和四阶p-Laplacian多时滞微分方程周期解的存在性，在较弱的条件下，得到若干周期解的存在定理；基于拓扑度理论，建立了分数阶p-Laplacian微分算子在周期条件下的连续定理，为研究此类问题提供了理论支撑，利用此定理证明了一类分数阶p-Laplacian微分方程周期边值问题解的存在性。.对边值问题，研究了p-Laplacian微分方程在无穷区间上积分边值条件和有界区间上两点边值条件下解的存在性，通过构建新的无穷边值问题解的存在性准则和基于p-Laplacian微分方程上下解的比较定理，分别给出两类问题解的存在性条件。对分数阶边值问题，通过完善分数阶Sobolev空间的结构，研究其上的相关性质，为应用临界点理论研究分数阶边值问题解的存在性提供理论支撑，利用分数阶Sobolev空间，研究了几类具有变分结构的分数阶边值问题弱解的存在性和正则性；对分数阶微分方程多类边值问题，利用不同理论和方法，给出若干解的存在性、多解性和唯一性定理。.对生物数学模型，研究了几类随机Logistic方程解的存在性和解的性态，证明了模型在一定条件下具有渐近稳定性；对捕食与被捕食模型，给出了最优俘获存在性准则。.项目研究所得结果，推广、改进了一些相关结果，丰富了该领域的研究工作，为相应的实际问题研究提供了理论支撑。