可压缩流体力学中的偏微分方程

This research project is mainly devoted to consider nonlinear PDEs—compressible Euler equations and Navier-Stokes equations, which is arised from compressible fluid dynamics, and its developments need strict physical background and rigorous mathematical theory. ..From the physical point of view, we mainly focus on three basic phenomena in compressible fluids: shock, vacuum and the phenomenon of flow past a obstacle. Mathematically, we mainly use the compressible Euler equation or Navier-Stokes equation to study the following questions: (1)The stablity or instablity for supersonic shock and transonic shock, which produced by that a supersonic flow past a 3D wedge, and answer the famous conjecture about this problem posed by Courant and Friedrichs; (2)The global existence and stability for the ball of gas which expands, and achieves vacuum as time t goes to infinity; (3)The stabilty of rarefaction with vacuum boundary, when a supersonic flow past a downwardly curved obstacle with large angle;(4)The existence and stablity for the flow when a gas flow past a cylindrical or spherical obstacles.

本申请项目主要涉及的是可压缩流体力学中的非线性偏微分方程——Euler方程组和Navier-Stokes方程组，其发展过程自始至终贯穿着严格的物理背景和严谨的数学理论。.从物理上看，我们主要关注于可压缩流体中的三类基本现象：激波现象、真空现象和扰流现象。数学上，我们主要利用可压缩Euler方程或者Navier-Stokes方程研究下列问题：（1）研究超音速气流经过三维楔形障碍物时所产生的超音速激波的稳定性和跨音速激波的非稳定性,回答Courant 和Friedrichs关于该问题的著名猜测；（2）研究对于球状气团的扩张，无穷远处出现真空时，气体运动的整体存在性和稳定性；（3）研究超音速气体经过向下大弯曲的物体时，所产生的稀疏到真空的疏散波的稳定性； （4）研究气体经过一个圆柱形或者球形障碍物所产生的绕流问题的存在性和稳定性。

本申请项目主要涉及的学科是可压缩流体力学中的非线性偏微分方程，其发展过程贯穿着严格的物理背景和严谨的数学理论。我们主要研究了于可压缩流体中的两类基本问题：激波问题和真空问题。我们用严格的偏微分方程理论来解释和探讨可压缩流体力学中的物理现象。. 我们具体的研究内容如下：.(1)对于超音速流经过一个三维的楔形障碍物所产生的超音速激波和跨音速激波的稳定性或不稳定性；(2)对于初始的球状气团，其边界以恒定的速度向外扩张时，在无穷远处出现真空的气体运动的整体稳定性；(3)张口管道中的超音速流在无穷远出现真空的整体稳定性；(4)利用Euler方程组研究超音速气体经过一个向下大弯曲的光滑曲面时产生的非中心疏散波的稳定性。. 我们对(1)的研究表明超音速流经过三维的楔形障碍物所产生的超音速激波只是局部稳定而不是整体稳定的，这和我们早期研究超音速流经过三维锥形障碍物所产生的超音速激波的结论完全一致；对(2)(3)的研究表明，无论是对于定常或者非定常的流体，如果边界是线性向外扩张的，由于气体的疏散作用，其运动总是整体存在和稳定的，并且真空只会在无穷远处发生；对(4)的研究表明，对于二维的问题，如果光滑曲面一直保持凸性，且其无穷远处的极限斜率小于一个临界角，则不会发生真空，并且这样的气体运动在小扰动下依然是稳定的。但是当光滑曲面在无穷远处的极限斜率大于临界角，则会在有限位置发生真空，并且真空是局部稳定性。整体稳定性和高维问题都在进一步的研究中。. 我们在研究(2)时，特别探讨了用不同流体力学模型Euler方程，Navier-Stokes方程和Boltzmann方程来刻画同样的物理现象，结果表明其稳定性结果都是一致的，但是稳定性的机制是完全不一样的。Euler方程的稳定在于气体的疏散带来了线性化方程有某种耗散性结构，Navier-Stokes方程的稳定来自于粘性带来的耗散，而Boltzmann方程来自于微观结构上的碰撞带来的某种耗散。这对我们后续研究其他的流体问题有很大的借鉴意义。