可压缩流体力学方程的全局适定性与不可压缩极限

Many mathematical models with important physical and mechanical backgrounds are reduced to Navier-Stokes equations， magnetic fluid equations and liquid crystal fluid equations etc. In this project, we will concentrate on investigating that when the volume viscosity coefficients are large enough or go to infinity, the global well-posedness and incompressible limit in the N(N=2 or N>2)dimensional compressible flows. We adopt classical energy estimates, Fourier transformation，Littlewood-Paley decomposition and paraproduct decomposition etc to study the following problems: (1) If the density of the fluid is slightly inhomogeneous, the volume viscosity coefficients are large enough or go to infinity, we study the global well-posedness and incompressible limits of strong solutions with big initial data for the compressible Navier-Stokes equations in the Lp-type Besov framework. (2) Under the assumptions of (1), we study the global well-posedness and incompressible limits of strong solutions with big initial data for the compressible magnetic fluid equations and liquid crystal fluid equations etc in the L2-type or Lp-type Besov framework. (3) When the density of the fluid is inhomogeneous, the volume viscosity coefficients are large enough or go to infinity, we investigate the global well-posedness and incompressible limits of strong solutions with big initial data for the compressible magnetic fluid equations and liquid crystal fluid equations etc in Sobolev spaces.

许多具有重要物理与力学背景的数学模型会导出Navier-Stokes、磁流体、液晶流体等流体动力学方程。本项目拟研究当容积黏度系数很大或趋近于无穷大时，二维或更高维可压缩流体力学方程的全局适定性及其不可压缩极限。我们利用能量估计、傅里叶变换、Littlewood-Paley分解、仿积分解等工具研究如下问题：（1）当流体初始密度轻度非均匀，容积黏度系数很大或趋于无穷大时，研究可压缩Navier-Stokes方程具大初值的强解在Lp型临界Besov空间上的全局适定性及不可压极限；（2）研究可压缩磁流体及液晶流体等方程在(1)的条件下，具大初值的强解在L2型或更一般的Lp型临界Besov空间上的全局适定性及不可压极限；（3）当可压缩流体初始密度完全非均匀，容积黏度系数很大或趋于无穷大时，研究可压缩磁流体和液晶流体等方程具大初值的强解在Sobolev空间上的全局适定性及不可压极限。

本项目按照资助项目计划书主要研究了流体力学方程解的全局适定性、极限行为、正则性以及能量守恒问题。该项目对于流体力学方程中三个方面的研究内容、重要结果及科学意义概述如下：（1）在Lp型Besov空间或Sobolev空间中解的全局存在性及其解的极限行为。一方面，证明了Lp型临界Besov空间中流体力学方程解的全局适定性，其主要的创新点是先将欧拉坐标系下的方程转化为拉格朗日坐标系下的方程进行研究，这样使得方程中的密度函数变成一个常数，然后再将拉格朗日坐标系下的结论转化到原来的欧拉坐标系下；另一方面，研究了液晶流体方程解的各阶导数的时空衰减率，结果表明该衰减率与热方程的时空衰减率是一致的；（2）解的唯一性。研究了稳态情形下的磁流体MHD方程和具Hall效应的磁流体方程的Liouville型定理。在局部Morrey空间框架下，克服具有无限能量解的压力项的估计问题，得到若干充分条件以保证这两类方程存在唯一的平凡解。所得结果不需要有限Dirichlet积分条件，从而推广和改进了已有的关于这两类方程在Lebesgue空间框架下的一些结果；（3）解的正则性及其能量守恒。研究了可压缩及不可压缩流体力学方程解的正则性与能量守恒问题, 给出使得该系统保持能量守恒时其解关于正则性的充分条件。