非Shilnikov意义下两类混沌系统的复杂动力学研究

Complex dynamics of high-dimensional nonlinear systems, global bifurcations and chaotic dynamics are currently on the frontier of nonlinear dynamics and have been widespread concern by scientists. Currently, the one of the classic analytical methods for dynamic analysis is Shilnikov theorem, which provides a rigorous proof about the existence of chaos for a class of systems with saddle-focus type equilibrium. However, the study about chaotic systems with not local unstable manifold is also very important and urgent. The research group has found two types of special three-dimensional (four-dimensional) continuous autonomous system, can still be chaotic (hyper-chaotic) when there is no equilibrium or only with hyperbolic stable equilibria. But the chaotic dynamics and specific regulatory mechanism is unclear. Based on these results, the project will delve into the complex dynamics of the two types of non-Shilnikov chaotic (hyper-chaotic) systems and provide new ideas for the mechanism and generated chaotic attractor.

高维非线性系统的复杂动力学、全局分叉和混沌动力学，是当今国际上非线性动力学领域的前沿课题，受到科学家们的广泛关注。目前，Shilnikov定理作为成功应用于全局动力学分析的经典解析方法之一，为某些三维鞍焦点型连续自治动力系统是否存在混沌提供了理论判据。然而，由于Shilnikov定理的条件限制，有关不具有局部不稳定流形的混沌系统研究也是非常重要和迫切的。本课题组已发现两类特殊的三维(四维)连续自治系统，即无平衡点或仅有双曲渐近稳定平衡点的系统仍可产生混沌(超混沌)的新奇现象，但具体复杂动力学性质和混沌产生机理还不是十分清楚。本项目将对此非Shilnikov意义下两类混沌与超混沌系统的动力学特性进行深入分析，为研究混沌吸引子产生的一般性机理提供新思路。

随着对混沌的深入研究和实际工程需要，高维非线性模型也被相继建立，但仍然有许多最基本问题悬而未决。许多学者试图完善混沌产生机理，以便更好解决工程实际中的各种分岔与混沌问题以及合理解释其物理意义。因Shilnikov定理的条件限制，有关不具有局部不稳定流形的混沌系统研究也是非常重要和迫切的。本课题组针对无平衡点或仅有双曲渐近稳定平衡点的系统仍可产生混沌(超混沌)现象，研究了此非Shilnikov意义下统的动力学性质。. 主要研究内容包括：1) 研究了四维机电系统中隐藏吸引子, 多个极限环以及有界性问题。通过使用李雅普诺夫指数和超混沌同步的方法进行了分析与数值模拟,证明了通过Hopf分岔存在四个小振幅极限环分叉。最后, 系统的混沌吸引子的有界性得到了严格证明；2) 基于特殊的混沌系统(只有一个非双曲平衡,一个零特征值和一对共轭复数特征值)，利用平均理论，分析zero-Hopf分岔的存在性，澄清非双曲混沌吸引子隐藏的复杂现象； 3) 基于机电系统的扩展Rikitake系统，研究了Hopf分岔, 稳定的平衡和隐藏的吸引子共存, 和无穷远点的动力学分析研究，并探讨了隐藏的吸引子的存在性(Hopf分岔产生不稳定的周期解)，对工程有着重要和潜在的应用；4) 介绍了一类三阶自治微分方程(其特点在于可以生成九种具有不寻常非双曲平衡特征值的混沌吸引子)，探讨了混沌产生的途径； 5) 基于稳定性分析与规范型理论，研究了带有多时滞的混沌系统的动力学特性，并研究了时滞对于具有隐藏混沌吸引子的影响，并给出了相应的电路设计； 6) 针对磁流体动力学家、英国皇家学会会员H. K. Moffatt教授建立的经典的三维圆盘发电机模型进行研究，发现并分析隐藏混沌吸引子的存在性条件； 7) 进一步研究了五维圆盘发电机模型，数值仿真显示不同周期的极限环与多种拓扑结构的隐藏混沌以及隐藏超混沌的吸引子共存现象。