高维复杂非线性系统的隐藏混沌与超混沌吸引子的理论研究及应用

The chaotic dynamics of high-dimensional nonlinear systems has been a frontier topic for nonlinear dynamics. The research on hidden attractors has become a hot term and has attracted worldwide attention in the fields of dynamics and control. In this project we will use classical vibration theory, stability theory and modern nonlinear dynamics theory to study global dynamics and mechanism for the existence of hidden chaotic and hyperchaotic attractors in discrete or continuous high-dimensional nonlinear systems. The main contents include: global bifurcation problems; criterion and positioning of hidden chaotic and hyperchaotic attractors; different geometry structure and mechanisms between hidden chaos and Shilnikov chaos. Through the research of this project, we can find the dynamic properties of global bifurcation and multistable solutions of high-dimensional nonlinear systems, which will explore the new problems and new results caused by hidden chaotic and hyperchaotic attractors. The research results will extend the application of vibration theory and nonlinear chaotic dynamics, explain the nonlinear nature and practical significance of some high-dimensional complex nonlinear systems, and promote the development of hidden attractor theory and its new application in practical engineering.

高维非线性系统的混沌动力学研究一直是国际上非线性动力学领域的前沿课题，其中有关隐藏吸引子的研究已成为动力学与控制领域一个热点问题。本项目将应用经典振动理论、稳定性理论和现代非线性动力学理论，针对离散或者连续的高维非线性系统，探讨全局动力学行为和隐藏混沌与超混沌吸引子的存在性、产生机理及扩展相关应用。主要内容包括：全局分岔问题；隐藏混沌与超混沌吸引子的判据及定位问题；隐藏混沌吸引子与Shilnikov混沌吸引子几何结构的差异和生成机理的异同。通过本项目研究，明确高维非线性系统随参数变化发生的全局分岔和多稳态解等动力学性质，特别是探索隐藏混沌与超混沌吸引子带来的新问题与新结果。研究成果将扩展振动理论和非线性混沌动力学的应用范围，解释一些高维复杂非线性系统的非线性本质以及实际意义，促进隐藏吸引子相关理论的发展及其在实际工程中的新应用。

通过该项目的研究，明确了几类高维非线性系统的极限集(或者不变集)的拓扑结构，定性结构以及全局分岔问题；获得连续或离散系统中的多稳态解特别是隐藏混沌吸引子的判据及定位方法；掌握隐藏混沌吸引子与Shilnikov混沌吸引子几何结构的差异和生成机理的异同；将隐藏混沌吸引子的理论结果应用于实际工程中。研究全为双曲渐近稳定平衡点下的高维自治离散系统与连续系统中隐藏混沌与超混沌吸引子的复杂动力学特性，探讨全局动力学行为和隐藏混沌与超混沌吸引子的存在性、产生机理及扩展相关应用。总体来说，项目组很好地完成了项目的研究目标，解释了一些高维复杂非线性系统的非线性本质以及实际意义，促进隐藏吸引子相关理论的发展及其在实际工程中的新应用。例如，针对三维自治系统，本课题组给出了四种条件下的隐藏混沌吸引子（指数为0的结点；指数为3的结点；指数为0的结焦点；指数为3的结焦点），并基于焦点量的方法研究了平衡点附近的三个极限环的存在性(最外环和内环是稳定的，中间环不稳定)，探讨了全局动力行为与平衡点的稳定性以及隐藏混沌吸引子之间的关系；研究了具有时滞的Hindmarsh-Rose神经元模型的Bogdanov-Takens奇异性，利用中心流形约化和正规形方法，将非双曲平衡点附近的问题约化为相应正规形的动力学问题，分析探讨时滞变化与鞍结点分岔、Hopf分岔和同宿分岔之间的关系；针对具有两个稳定节点焦点的混沌系统，分析了系统在无限远处的动力学行为，并从Kosambi-Cartan-Chern理论（KCC理论）的角度讨论了系统轨迹的Jacobi稳定性，详细分析了靠近整个轨迹（包括所有平衡点）的偏差矢量的动力学行为，表理论说明Jacobi稳定性的研究从某种角度上可以探究隐藏混沌吸引子的产生机理。此外，将研究结果应用于数字信息隐私保护方案和电路实现，并成功实施了语音加密应用程序。